【題目】已知函數(shù),其中,為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

1)討論的單調(diào)性;

2)若對任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)求,令,求出,得出,對分類討論求出,

的解,即可得出結(jié)論;

2分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求,設(shè)

,通過求導(dǎo)及構(gòu)造函數(shù),得且滿足,進(jìn)而得到時(shí),取得最小值,即可求出結(jié)論.

1

,則,所以

(。┊(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞增

(ⅱ)當(dāng)時(shí),令,則

a)若時(shí),

當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞減

b)若時(shí),,

所以上單調(diào)遞增

c)若時(shí),

當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí),

所以上單調(diào)遞減

綜上所述:當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減

2)解法一:參數(shù)分離法

恒成立即

,則

,則,

所以上單調(diào)遞增

,

所以上存在唯一零點(diǎn),且

所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

又因?yàn)?/span>

思路一:即

因?yàn)?/span>,所以*

設(shè),當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞增

由(*)知,所以

所以

則有

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

思路二:即,兩邊取對數(shù),

*

設(shè),則上單調(diào)遞增

由(*)知,所以

所以,

則有

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

下面提供一種利用最小值的定義求的最小值的方法:

先證:,

設(shè),則

所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以,

(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),

再證:

得(用代換),

,

,

(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)

最后證:方程有實(shí)根,

設(shè),則上單調(diào)遞增,

,

所以有唯一零點(diǎn),

即方程有實(shí)根,

綜上,則有,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

解法二:函數(shù)性質(zhì)法

恒成立,

設(shè),則,

因?yàn)?/span>,

,所以上單調(diào)遞增,

又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

所以上存在唯一零點(diǎn),即,(1

所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

,

,

思路一:即,

因?yàn)?/span>,所以,(*

設(shè),當(dāng)時(shí),

所以上單調(diào)遞增,

由(*)知,

所以,

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