【題目】已知函數(shù)(為常數(shù)),曲線在與軸的交點A處的切線與軸平行.

(1)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在不相等的實數(shù)使成立,試比較的大小.

【答案】(1)a=2,在區(qū)間(-∞,ln 2)上單調(diào)遞減,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞增.(2)x1x2<2ln 2

【解析】

(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到,求出a的值,再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2) 令g(x)= (x)-(2ln 2-x)=ex-4x+4ln 2(x≥ln 2),

利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g(x)(ln 2,+∞)上單調(diào)遞增,即(x)>(2ln 2-x),不妨設(shè)x1<ln 2<x2,所以(x2)>(2ln 2-x2),再證明x1x2<2ln 2.

(1),

.且f(x)與y軸交于A(0.0)

所以,所以a=2,

所以,

>0,得x>ln 2.

所以函數(shù)在區(qū)間(-∞,ln 2)上單調(diào)遞減,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)證明:設(shè)x>ln 2,所以2ln 2-x<ln 2,

(2ln 2-x)=e(2ln 2x)-2(2ln 2-x)-1

+2x-4ln 2-1.

g(x)= (x)-(2ln 2-x)=ex-4x+4ln 2(x≥ln 2),

所以g′(x)=ex+4ex-4≥0,

當(dāng)且僅當(dāng)x=ln 2時,等號成立,

所以g(x)=(x)-(2ln 2-x)(ln 2,+∞)上單調(diào)遞增.

g(ln 2)=0,所以當(dāng)x>ln 2時,g(x)=(x)-(2ln 2-x)>g(ln 2)=0,

(x)>(2ln 2-x),不妨設(shè)x1<ln 2<x2,所以(x2)>(2ln 2-x2),

又因為(x1)=(x2),所以(x1)>(2ln 2-x2),

由于x2>ln 2,所以2ln 2-x2<ln 2,

因為x1<ln 2,由(1)知函數(shù)y(x)在區(qū)間(-∞,ln 2)上單調(diào)遞減,

所以x1<2ln 2-x2

x1x2<2ln 2.

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