Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）請(qǐng)分別寫出直線與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）利用， 等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化；

（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程，設(shè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)參數(shù)，，根據(jù)|PQ|2=|MP||MQ|，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

（1）直線的極坐標(biāo)方程為，所以，

化為直角坐標(biāo)方程，即.

曲線的極坐標(biāo)方程為，所以，

化為直角坐標(biāo)方程，即.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，

所以可取直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

設(shè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)參數(shù)，，則 ，

將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，并化簡(jiǎn)得.

因?yàn)?/span>，所以 .

且，

因?yàn)?/span>，

所以 ，所以，即，

則有，得或.

因?yàn)?/span>，所以.