Question

【題目】設(shè)函數(shù) .

(I)討論的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)時(shí)，共有3個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（I）求出導(dǎo)函數(shù) f'（x）=2（x﹣1）（1nx+a）（x＞0）．通過①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，③當(dāng)a＜0時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性．

（Ⅱ）當(dāng)a＜﹣2時(shí)，由（I）知f（x）在（0，1）上遞增，（1，e﹣a）上遞減，（e﹣a，+∞）上遞增，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)存在x0，使f（x0）＜0．推出函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)．說明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，然后推出f（x）當(dāng)a＜﹣2時(shí)，共有3個(gè)零點(diǎn)．

(I) .

①當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .在遞增

②當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí).

易知在遞增， 遞減， 遞增

③當(dāng)時(shí)， .易知在遞增， 遞減， 遞增

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，由(I)知在上遞增， 上遞減， 上遞增，

且 ，將代入，

得

，

下面證明 當(dāng)時(shí)存在，使.

首先，由不等式，，.

考慮到，

.

再令，可解出一個(gè)根為，

，，就取.

則有.由零點(diǎn)存在定理及函數(shù)在上的單調(diào)性，可知在上有唯一的一個(gè)零點(diǎn).

由，及的單調(diào)性，可知在上有唯一零點(diǎn).

下面證明在上，存在，使，就取，則，

，

由不等式，則，即.

根據(jù)零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性知在有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)時(shí)，共有3個(gè)零點(diǎn).