Question

【題目】數(shù)列： 滿足： ．記的前項(xiàng)和為，并規(guī)定．定義集合， ， ．

（Ⅰ）對數(shù)列： ， ， ， ， ，求集合；

（Ⅱ）若集合， ，證明： ；

（Ⅲ）給定正整數(shù)．對所有滿足的數(shù)列，求集合的元素個數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題中所給的定義，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)所給的條件，由集合的定義知，再結(jié)合，可推出；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論，進(jìn)一步求出關(guān)系，即集合的最小值．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>， ， ， ， ， ，

所以．

（Ⅱ）由集合的定義知，且是使得成立的最小的k，

所以．

又因?yàn)?/span> ，所以所以．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，所以非空．

設(shè)集合，不妨設(shè)，則由（Ⅱ）可知，

同理，且．

所以 ．

因?yàn)?/span>，所以的元素個數(shù)．

取常數(shù)數(shù)列： ，并令，則，適合題意，且，其元素個數(shù)恰為．

綜上， 的元素個數(shù)的最小值為．