Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，為函數(shù)的兩個極值點，求證．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，構(gòu)造新函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為求解的范圍問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可求．

（Ⅰ）由題意，函數(shù)的定義域，

且，

當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）不妨設(shè)，則由（1）可知，，

所以

，

令（其中），則，

可得，即在上單調(diào)遞減，

且，，

故存在使得，即，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

故當(dāng)時，取得最大值

，

因為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，，

故，

所以，即．