【題目】已知橢圓 的離心率為,且橢圓過(guò)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)做兩條相互垂直的直線(xiàn)分別與橢圓交于、、四點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若 ,探究:直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知,可建立關(guān)于橢圓三個(gè)參數(shù)的方程組進(jìn)行求解,由離心率可得,又點(diǎn)在橢圓上,可得,結(jié)合,從而問(wèn)題可得解.

(Ⅱ)由題意,可對(duì)直線(xiàn)的斜率分“不存在與0”和“都存在且”兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論,先對(duì)后一種情況探究,則可設(shè)兩直線(xiàn)的方程分別為, ,逐個(gè)聯(lián)立橢圓方程,分別計(jì)算的中點(diǎn)的坐標(biāo),從而求出直線(xiàn)的方程,并求得其定點(diǎn)為,再對(duì)前一種情況進(jìn)行驗(yàn)證即可.

試題解析:(Ⅰ)由題意知, ,解得,

故橢圓的方程為.

(Ⅱ)∵ ,∴、分別為的中點(diǎn).

當(dāng)兩直線(xiàn)的斜率都存在且不為0時(shí),設(shè)直線(xiàn)的方程為,

則直線(xiàn)的方程為, , , , ,

聯(lián)立,得,∴,

, ,∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為

同理, 中點(diǎn)的坐標(biāo)為,∴

∴直線(xiàn)的方程為 ,

,∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn);

當(dāng)兩直線(xiàn)的斜率分別為0和不存在時(shí),則直線(xiàn)的方程為,也過(guò)點(diǎn)

綜上所述,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 乙類(lèi)水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ264

B. 甲類(lèi)水果的質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量更集中

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(1)求頻率分布直方圖中的值;

(2)從這 100 戶(hù)居民中隨機(jī)抽取 1 戶(hù)進(jìn)行深度調(diào)查,求這戶(hù)居民冬季取暖用電量在[3300,3400]的概率;

(3)在用電量為[3200,3250),[3250,3300),[3300,3350),[3350,3400]的四組居民中,用分層抽樣的方法抽取 34 戶(hù)居民進(jìn)行調(diào)查,則應(yīng)從用電量在[3200,3250)的居民中抽取多少戶(hù)?

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn=n2ann∈N*.

1)試求出S1S2,S3,S4,并猜想Sn的表達(dá)式;

2)用數(shù)學(xué)納法證明你的猜想,并求出an的表達(dá)式.

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(2) 若函數(shù)f(x)=(x–1)2在定義域[m,n](m>1)上為依賴(lài)函數(shù),求實(shí)數(shù)m、n乘積mn的取值范圍;

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