Question

【題目】若函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的每一個值x1，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．

(1) 判斷函數(shù)g(x)=2x是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；

(2) 若函數(shù)f(x)=(x–1)2在定義域[m，n](m>1)上為“依賴函數(shù)”，求實數(shù)m、n乘積mn的取值范圍；

(3) 已知函數(shù)f(x)=(x–a)2 (a<)在定義域[，4]上為“依賴函數(shù)”．若存在實數(shù)x[，4]，使得對任意的tR，有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立，求實數(shù)s的最大值．

Answer 1

【答案】（1）g(x)=2x是“依賴函數(shù)”（2）（3）

【解析】試題分析：（1）取 ，可驗證函數(shù)為依賴函數(shù)；（2）化簡條件得，從而，利用單調(diào)性求值域即可；（3）由題意知存在，使得對任意的t∈R，有不等式都成立，即恒成立，分離參數(shù)可得，轉(zhuǎn)化為求最值問題處理.

試題解析：

(1) 對于函數(shù)g(x)=2x的定義域R內(nèi)任意的x1，取x2= –x1，則g(x1)g(x2)=1，

且由g(x)=2x在R上單調(diào)遞增，可知x2的取值唯一，

故g(x)=2x是“依賴函數(shù)”；

(2) 因為m>1，f(x)=(x–1)2在[m，n]遞增，故f(m)f(n)=1，即(m–1)2(n–1)2=1，

由n>m>1，得(m–1) (n–1) =1，故，

由n>m>1，得1<m<2，

從而在上單調(diào)遞減，故，

(3) 因，故在上單調(diào)遞增，

從而，即，進(jìn)而，

解得或 (舍)，

從而，存在，使得對任意的t∈R，有不等式都成立，即恒成立，由，

得，由，可得，

又在單調(diào)遞增，故當(dāng)時， ，

從而，解得，故實數(shù)的最大值為．