在直角坐標(biāo)系中,已知中心在原點(diǎn),離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程;
⑵設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過(guò)P作兩條斜率之積為的直線,當(dāng)直線都與圓相切時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo).
(1);(2).
解析試題分析:(1)圓心坐標(biāo)是已知的,故橢圓的焦點(diǎn)是已知的,從而半焦距已知了,又有離心率,故半長(zhǎng)軸長(zhǎng)也能求出,從而求出,而根據(jù)題意,橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,可其方程易得;(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,再設(shè)一條切線的斜率為,則另一條切線的斜率為,三個(gè)未知數(shù)需要三個(gè)方程,點(diǎn)P在橢圓上,一個(gè)等式,兩條直線都圓的切線,利用圓心到切線的距離等于圓的半徑又得到兩個(gè)等式,三個(gè)等量關(guān)系,三個(gè)未知數(shù)理論上可解了,當(dāng)然具體解題時(shí),可設(shè)切線斜率為,則點(diǎn)斜率式寫(xiě)出直線方程,利用圓心到切線距離等于圓半徑得出關(guān)于的方程,而是這個(gè)方程的兩解,由韋達(dá)定理得,這個(gè)結(jié)果又是,就列出了關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)方程,再由P點(diǎn)在橢圓上,可解出P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,所以,又,,,而據(jù)題意橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,故其方程為.4分
(2)設(shè),得
∵,依題意到的距離為
整理得同理
∴是方程的兩實(shí)根10分
12分
∴14分
16分
考點(diǎn):(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)圓的切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo),,圓是的內(nèi)切圓,在邊,,上的切點(diǎn)分別為,(從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)直線與曲線的另一交點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)在以線段為直徑的圓上時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=|PD|,當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程。
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已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦距為2,離心率為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),且與橢圓C交于兩點(diǎn),若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S.
(1)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(2)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程.
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已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,過(guò)點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知?jiǎng)又本與橢圓相交于、兩點(diǎn). ①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;②若點(diǎn),求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)雙曲線以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且雙曲線的一條漸近線是,
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn),且都在以為圓心的圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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