在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,P是動點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(1);(2)存在,且點(diǎn)的坐標(biāo)為.
解析試題分析:(1)本題只要直接設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)為,用表示出已知條件,即可求出所求軌跡方程;(2)此問題存在性問題,解決的方法是假設(shè)這個點(diǎn)存在,然后根據(jù)已知條件去求這個點(diǎn),若能求出,則存在,若求不出,則不存在在.即設(shè)存在題設(shè)的點(diǎn),其坐標(biāo)為,然后求出的坐標(biāo),進(jìn)而求出和,令=,求.當(dāng)然考慮到△PAB與△PMN有一對對頂角,也可這樣求三角形的面積:,,由于,所以由=,得,也即,這個式子可很快求出.
試題解析:(1)解:因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以點(diǎn)得坐標(biāo)為,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意得 ,化簡得:.
故動點(diǎn)的軌跡方程為: 4分
(2)解法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)為,
則直線AP的方程為,直線BP的方程為,
令,得,.
于是的面積是,
又直線AB的方程為,,點(diǎn)P到直線AB的距離,
于是的面積
當(dāng)=時,,
又,∴,解得,
又,∴,
故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等,此時P點(diǎn)坐標(biāo)為.
解法二:若存在點(diǎn)使得與的面積相等,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/b/kzxqo1.png" style="vertical-align:middle;" />, 所以,
所以 即,解得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/52/2/1kuvt2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以故存在點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中、是過拋物線焦點(diǎn)的兩條弦,且其焦點(diǎn),,點(diǎn)為軸上一點(diǎn),記,其中為銳角.
(1)求拋物線方程;
(2)如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小,求的大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)(,是常數(shù)),且動點(diǎn)到軸的距離比到點(diǎn)的距離小.
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)(i)已知點(diǎn),若曲線上存在不同兩點(diǎn)、滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ii)當(dāng)時,拋物線上是否存在異于、的點(diǎn),使得經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,已知中心在原點(diǎn),離心率為的橢圓E的一個焦點(diǎn)為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程;
⑵設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過P作兩條斜率之積為的直線,當(dāng)直線都與圓相切時,求P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線,為坐標(biāo)原點(diǎn),動直線與
拋物線交于不同兩點(diǎn)
(1)求證:·為常數(shù);
(2)求滿足的點(diǎn)的軌跡方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為的橢圓過點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與該橢圓交于P,Q兩點(diǎn),滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列,
求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線:.過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn).拋物線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn).
(Ⅰ)若直線的斜率為1,求;
(Ⅱ)求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,、、是橢圓的頂點(diǎn),是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線交軸于點(diǎn),直線交于點(diǎn),設(shè)的斜率為,的斜率為,求證:為定值.
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