【題目】已知F1 , F2分別是橢圓C: (a>b>0)的兩個焦點(diǎn),P(1, )是橢圓上一點(diǎn),且 |PF1|,|F1F2|, |PF2|成等差數(shù)列.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知動直線l過點(diǎn)F2 , 且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試問x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得 =﹣ 恒成立?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵ |PF1|,|F1F2|, |PF2|成等差數(shù)列,

|PF1|+ |PF2|=2|F1F2|,即2 a=4c,∴a= c.

,解得

∴橢圓方程為


(2)解:假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q(m,0),使得 恒成立.

①當(dāng)直線l的斜率為0時,A(﹣ ,0),B( ,0).

=(﹣ ﹣m,0), =( ﹣m,0).

=m2﹣2=﹣ ,解得 或m=﹣

②若直線l斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為x=ty+1.

聯(lián)立方程組 ,消元得:(t2+2)y2+2ty﹣1=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣

∴x1+x2=t(y1+y2)+2= ,

x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1=

=(x1﹣m,y1), =(x2﹣m,y2).

=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=x1x2﹣m(x1+x2)+m2+y1y2

= +m2 = =﹣

,解得m=

綜上,Q點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0)


【解析】

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】各項均為正數(shù)的數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 且對任意正整數(shù)n,都有2Sn=bn(bn+1).
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)如果等比數(shù)列{an}共有2015項,其首項與公比均為2,在數(shù)列{an}的每相鄰兩項ak與ak+1之間插入k個(﹣1)kbk(k∈N*)后,得到一個新的數(shù)列{cn}.求數(shù)列{cn}中所有項的和;
(3)如果存在n∈N* , 使不等式 成立,求實(shí)數(shù)λ的范圍.

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【題目】已知點(diǎn)C為圓(x+1)2+y2=8的圓心,P是圓上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在圓的半徑CP上,且有點(diǎn)A(1,0)和AP上的點(diǎn)M,滿足 =0, =2
(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時,求點(diǎn)Q的軌跡方程;
(2)若斜率為k的直線 l與圓x2+y2=1相切,直線 l與(1)中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F,H,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且 時,求k的取值范圍.

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【題目】設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個區(qū)間,若存在x0∈D,使f(x0)=﹣x0 , 則稱x0是f(x)的一個“次不動點(diǎn)”,也稱f(x)在區(qū)間D上存在次不動點(diǎn).若函數(shù)f(x)=ax2﹣3x﹣a+ 在區(qū)間[1,4]上存在次不動點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
A.(﹣∞,0)
B.(0,
C.[ ,+∞)
D.(﹣∞, ]

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【題目】設(shè)定義在區(qū)間[﹣m,m]上的函數(shù)f(x)=log2 是奇函數(shù),且f(﹣ )≠f( ),則nm的范圍是

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【題目】某城市隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如下:

API

[0,100]

(100,200]

(200,300]

>300

空氣質(zhì)量

優(yōu)良

輕污染

中度污染

重度污染

天數(shù)

17

45

18

20

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S(單位:元),空氣質(zhì)量指數(shù)API.當(dāng)時,企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)對企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型(當(dāng)時造成的經(jīng)濟(jì)損失為,當(dāng)時,造成的經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)時造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元;

(1)試寫出的表達(dá)式

(2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有12天為重度污染,完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)?

非重度污染

重度污染

合計

供暖季

非供暖季

合計

100

P(k2≥k0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】某城市理論預(yù)測2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示

年份2010+x(年)

0

1

2

3

4

人口數(shù)y(十萬)

5

7

8

11

19

(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

(2) 據(jù)此估計2015年該城市人口總數(shù)。

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【題目】某跳水運(yùn)動員在一次跳水訓(xùn)練時的跳水曲線為如圖所示拋物線的一段.已知跳水板長為,跳水板距水面的高.為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美,訓(xùn)練時跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)處水平距時達(dá)到距水面最大高度,規(guī)定:以為橫軸,為縱軸建立直角坐標(biāo)系.

(1)當(dāng)時,求跳水曲線所在的拋物線方程;

(2)若跳水運(yùn)動員在區(qū)域內(nèi)入水時才能達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果,求此時的取值范圍.

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【題目】將函數(shù)y=sin(x+ )的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),所得函數(shù)在下面哪個區(qū)間單調(diào)遞增(
A.(﹣ ,
B.(﹣ ,
C.(﹣ ,
D.(﹣ ,

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