Question

【題目】各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且對(duì)任意正整數(shù)n，都有2Sn=bn（bn+1）．
（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）如果等比數(shù)列{an}共有2015項(xiàng)，其首項(xiàng)與公比均為2，在數(shù)列{an}的每相鄰兩項(xiàng)ak與ak+1之間插入k個(gè)（﹣1）kbk（k∈N*）后，得到一個(gè)新的數(shù)列{cn}．求數(shù)列{cn}中所有項(xiàng)的和；
（3）如果存在n∈N* ， 使不等式 成立，求實(shí)數(shù)λ的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn=bn（bn+1），2Sn﹣1=bn﹣1（bn﹣1+1）得（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1）=bn+bn﹣1

因數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以bn﹣bn﹣1=1，

所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)與公差均為1的等差數(shù)列，

所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n．

（2）解：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 ，

數(shù)列{cn}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015項(xiàng)，

其所有項(xiàng)的和為S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）

=2（22015﹣1）+[3+7+…+4027]=22016﹣2+ ×1007

=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103

（3）解：由 ，

得 ，

記

因?yàn)? ，當(dāng) 取等號(hào)，所以 取不到 ，

當(dāng)n=3時(shí)， 的最小值為 （n∈N*）遞減，

的最大值為B1=6，

所以如果存在n∈N*，使不等式 成立

實(shí)數(shù)λ應(yīng)滿足A3≤λ≤B1，即實(shí)數(shù)λ的范圍應(yīng)為

【解析】
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和，需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能得出正確答案．