Question

【題目】已知函數(shù)()，且滿足.

（1）求a的值；

（2）設(shè)函數(shù)，()，若存在，，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（3）若存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同的正根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，代入函數(shù)值，即可求解；

（2）根據(jù)題意，求解函數(shù)和值域，若存在，，使得成立，轉(zhuǎn)化為值域有交集，即可求解參數(shù)取值范圍；

（3）由（1）分析函數(shù)的值域，可知時(shí)，有兩根；再觀察方程，同除后方程可化簡(jiǎn)為，只需使方程在上有兩根，即可求解.

（1）由，得或0.

因?yàn)?/span>，所以，所以.

（2），

所以;故的值域?yàn)?/span>

因?yàn)?/span>時(shí)，在上單調(diào)遞增，，

所以的值域?yàn)?/span>，由題意，

考慮到，所以，解得;

綜上:實(shí)數(shù)t的取值范圍是

（3）當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù);

當(dāng)時(shí)，.

可得在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

方程可化為，

即.

設(shè)，方程可化為.

要使原方程有4個(gè)不同的正根，

則關(guān)于s方程在有兩個(gè)不等的根，，

則有，解得，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.