【題目】20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)(單位:分)的頻率分布直方圖如下:

(1)求頻率直方圖中a的值;

(2)分別求出成績(jī)落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù);

(3)從成績(jī)?cè)赱50,70)的學(xué)生中人選2人,求這2人的成績(jī)都在[60,70)中的概率.

【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3

[解析] (1)由頻率分布直方圖知組距為10,頻率總和為1,可列如下等式:(2a+2a+3a+6a+7a)×10=1

解得a=0. 005.

(2)由圖可知落在[50,60)的頻率為2a×10=0. 1

由頻數(shù)=總數(shù)×頻率,從而得到該范圍內(nèi)的人數(shù)為20×0. 1=2.

同理落在[60,70)內(nèi)的人數(shù)為20×0. 15=3.

(3)記[50,60)范圍內(nèi)的2人分別記為A1A2,[60,70)范圍內(nèi)的3人記為B1B2、B3,從5人選2人共有情況:

A1A2,A1B1A1B2,A1B3,A2B1,A2B2A2B3,B1B2B1B3,B2B3,10種情況,其中2人成績(jī)都在[60,70)范圍內(nèi)的有3種情況,因此P

【解析】試題分析:(1)由頻率分布直方圖的意義可知,圖中五個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和為1,由此列方程即可求得.

2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分別求出成績(jī)落在的頻率值,分別乘以學(xué)生總數(shù)即得相應(yīng)的頻數(shù);

3)由(2)知,成績(jī)落在中有2人,用表示,成績(jī)落在中的有3人,分別用、、表示,從五人中任取兩人,寫出所有10種可能的結(jié)果,可用古典概型求此2人的成績(jī)都在中的概率.

解:(1)據(jù)直方圖知組距=10,由

,解得

2)成績(jī)落在中的學(xué)生人數(shù)為

成績(jī)落在中的學(xué)生人數(shù)為

3)記成績(jī)落在中的2人為,成績(jī)落在中的3人為、、,則從成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中人選2人的基本事件共有10個(gè):

其中2人的成績(jī)都在中的基本事伯有3個(gè):

故所求概率為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)求證:當(dāng)時(shí),在(1)的條件下, 成立.

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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為, 上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),直線恰與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的離心率為半徑的圓相切.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,若交直線兩點(diǎn).問以為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)試求拋物線的方程;

(2)已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線上,是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.

①求證:直線恒過定點(diǎn);

②過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn),試求點(diǎn)的軌跡方程,并說明其軌跡是何種曲線.

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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形, MPD的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD,PA=AD= 4, AB = 2.

(1)求證:AM⊥平面MCD;

(2)求直線PC與平面MAC所成角的正弦值.

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【題目】(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域.

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【題目】計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝4臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過去0年的水文資料顯示,水庫年入流量年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和,單位:億立方米都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不足120的年份有30年,不低于120且不足160的年份有8年,不低于160的年份有2年,將年入流量在以上四段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

(1)求在未來3年中,至多1年的年入流量不低于120的概率;

(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量的限制,并有如下關(guān)系:

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為500萬元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損1500萬元,水電站計(jì)劃在該水庫安裝2臺(tái)或3臺(tái)發(fā)電機(jī),你認(rèn)為應(yīng)安裝2臺(tái)還是3臺(tái)發(fā)電機(jī)?請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知數(shù)集具有性質(zhì):對(duì)任意的、,兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.

1)分別判斷數(shù)集是否具有性質(zhì),并說明理由;

2)證明:

3)證明:當(dāng)時(shí),.

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【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求證:恒成立;

(2)若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的最小值.

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