【題目】已知拋物線(xiàn)的內(nèi)接等邊三角形的面積為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)試求拋物線(xiàn)的方程;
(2)已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.
①求證:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn);
②過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交于點(diǎn),試求點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明其軌跡是何種曲線(xiàn).
【答案】(1);(2)①證明見(jiàn)解析;②,是以為直徑的圓(除去點(diǎn).
【解析】
(1)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),由|OA|=|OB|,可得2pxA2pxB,化簡(jiǎn)可得:點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).因此AB⊥x軸,且∠AOx=30°.可得yA=2p,再利用等邊三角形的面積計(jì)算公式即可得出;
(2)①由題意可設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為:x=my+a,P(x1,y1),Q(x2,y2).與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立化為:y2﹣my﹣a=0,利用∠PMQ=90°,可得0利用根與系數(shù)的關(guān)系可得m,或(m),進(jìn)而得出結(jié)論;
②設(shè)N(x,y),根據(jù)MN⊥NH,可得0,即可得出.
(1)解依題意,設(shè),,
則由,得,
即,
因?yàn)?/span>,,所以,
故,,
則,關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),
所以軸,且,
所以.
因?yàn)?/span>,所以,
所以,
故,,
故拋物線(xiàn)的方程為.
(2)①證明 由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為,
,,
由,消去,得,
故,,.
因?yàn)?/span>,所以.
即.
整理得,
,
即,
得,
所以或.
當(dāng),即時(shí),
直線(xiàn)的方程為,
過(guò)定點(diǎn),不合題意舍去.
故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
②解 設(shè),則,即,
得,
即,
即軌跡是以為直徑的圓(除去點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表如下,頻率分布直方圖如圖:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合計(jì) | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為(限定).
(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程,并求與交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)射線(xiàn)與曲線(xiàn)與分別交于點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為(限定).
(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程,并求與交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)射線(xiàn)與曲線(xiàn)與分別交于點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)集具有性質(zhì);對(duì)任意的、,,與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì),并說(shuō)明理由;
(2)證明:,且;
(3)當(dāng)時(shí),若,求集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知由自然數(shù)組成的元集合,非空集合,且對(duì)任意的,都有.
(1)當(dāng)時(shí),求所有滿(mǎn)足條件的集合;
(2)當(dāng)時(shí),求所有滿(mǎn)足條件的集合的元素總和;
(3)定義一個(gè)集合的“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該集合的元素,然后從最大數(shù)開(kāi)始交替地減、加后繼的數(shù).例如集合的交替和是,集合的交替和為.當(dāng)時(shí),求所有滿(mǎn)足條件的集合的“交替和”的總和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率直方圖中a的值;
(2)分別求出成績(jī)落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績(jī)?cè)赱50,70)的學(xué)生中人選2人,求這2人的成績(jī)都在[60,70)中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 ,若,且的圖象相鄰的對(duì)稱(chēng)軸間的距離不小于.
(1)求的取值范圍.
(2)若當(dāng)取最大值時(shí), ,且在中, 分別是角的對(duì)邊,其面積,求周長(zhǎng)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】唐三彩,中國(guó)古代陶瓷燒制工藝的珍品,它吸取了中國(guó)國(guó)畫(huà)、雕塑等工藝美術(shù)的特點(diǎn),在中國(guó)文化中占有重要的歷史地位,在中國(guó)的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆.唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史,對(duì)唐三彩的復(fù)制和仿制工藝,至今也有百余年的歷史,某陶瓷廠在生產(chǎn)過(guò)程中,對(duì)仿制的100件工藝品測(cè)得其重量(單位: )數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)分組如下表:
(1)在答題卡上完成頻率分布表;
(2)以表中的頻率作為概率,估計(jì)重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少?
(3)統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值(例如區(qū)間的中點(diǎn)值是2.25作為代表.據(jù)此,估計(jì)這100個(gè)數(shù)據(jù)的平均值.
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