Question

【題目】已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的、，與兩數(shù)中至少有一個屬于.

（1）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）證明：且；

（3）證明：當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由詳見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由定義直接判斷集合和是否具有性質(zhì)；

（2）由已知得和中至少有一個屬于，從而得到，再由，得到，由具有性質(zhì)可知，由此能證明；

（3）當(dāng)時，，從而，，由此能證明.

（1）由于和均不屬于數(shù)集，所以，數(shù)集不具有性質(zhì).

由于、、、、、、、、、都屬于數(shù)集，所以，數(shù)集具有性質(zhì)；

（2）數(shù)集具有性質(zhì)，

所以，和中至少有一個屬于，，所以，則，從而，故.

，所以，，故.

因為，數(shù)集具有性質(zhì)可知，.

又因為，，，，，.

所以，.

因此，；

（3）由（2）知，，，即，

因為，所以，，則，由于數(shù)集具有性質(zhì)，.

由，可得，且，所以，，

故，因此，.