【題目】如圖,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),分別以AC和BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACD和△BCE,連結(jié)AE和BD,相交于點(diǎn)F.
(1)求證:AE=BD;
(2)如圖2.固定△BCE不動(dòng),將等邊△ACD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(△ACD和△BCE不重疊),試問∠AFB的大小是否變化?請說明理由;
(3)在△ACD旋轉(zhuǎn)的過程中,以下結(jié)論:①CG=CH;② GF=HF; ③FC平分分∠GCH;④FC平分∠GFH;一定正確的有 (填寫序號,不要求證明)
【答案】(1)見解析;(1)∠AFB的大小不變,理由見解析;(3)④
【解析】
(1)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠BCD,進(jìn)而利用SAS得出△ACE≌△DCB進(jìn)而得出答案;
(2)由△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA,由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論∠AFB=180°-∠ACD=120°.
(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),全等的判定與性質(zhì)以及角平分線判定定理依次判斷.
(1)證明:∵根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可得∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECD,
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE與△DCB中,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD;
(2)解:∠AFB的大小不變,理由如下:
∵△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB.
∵∠ADF=∠ADC+∠CDB,
∴∠ADF=∠ADC+∠CAE,
又∵∠AFB=∠FAD+∠ADF,
∴∠AFB=∠FAD+∠ADC+∠CAE,
∴∠AFB=∠DAC+∠ADC.
又∵∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°,
∴∠DAC+∠ADC=180°-∠ACD,
∴∠AFB=180°-∠ACD,
∵∠ACD=60°,
∴∠AFB=120°.
所以∠AFB的大小不變.
(3)①②③在圖1特殊情況下才成立,不一定正確;
④如圖,過C作CM⊥AE于M,CN⊥BD于N,
∵△ACE≌△DCB,
∴BD=CE, S△ACE=S△DCB.
∴△BCD中BD邊上的高與△ACE中AE邊上的高對應(yīng)相等,
即CM=CN,
∴點(diǎn)C在∠AFB的角平分線上,
即FC平分∠GFH,故④正確.
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【題目】某經(jīng)銷商銷售一種產(chǎn)品,這種產(chǎn)品的成本價(jià)為10元/千克,已知銷售價(jià)不低于成本價(jià),且物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于18元/千克,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價(jià)x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價(jià)應(yīng)定為多少?
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【題目】已知:如圖,CD=BE,DG⊥BC于點(diǎn) G,EF⊥BC于點(diǎn) F,且 DG=EF.
(1)求證:△DGC≌△EFB.
(2)連結(jié) BD,CE. 求證:BD=CE
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中﹣1<x1<0.1<x2<2.下列結(jié)論:4a+2b+c<0;2a+b<0;b2+8a>4ac;
a<﹣1;其中結(jié)論正確的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】小明周末要乘坐公交車到植物園游玩,從地圖上查找路線發(fā)現(xiàn),幾條線路都需要換乘一次.在出發(fā)站點(diǎn)可選擇空調(diào)車A、空調(diào)車B、普通車a,換乘站點(diǎn)可選擇空調(diào)車C,普通車b、普通車c,且均在同一站點(diǎn)換乘.空調(diào)車投幣2元,普通車投幣1元.
(1)求小明在出發(fā)站點(diǎn)乘坐空調(diào)車的概率;
(2)求小明到達(dá)植物園恰好花費(fèi)3元公交費(fèi)的概率.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)當(dāng)∠A=36°時(shí),求∠DEF的度數(shù).
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【題目】如圖,P是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn).若AB=6,AD=8,則四邊形ABPE的周長為( )
A. 14 B. 16 C. 17 D. 18
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【題目】如圖,P為平行四邊形ABCD的邊AD上的一點(diǎn),E、F分別為PB、PC的中點(diǎn),△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、S1、S2.若S=3,則S1+S2的值為( )
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
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【題目】如圖,點(diǎn)C,E,F(xiàn),B在同一直線上,點(diǎn)A,D在BC異側(cè),AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求證:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度數(shù).
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