Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D．

（1）求m的值和直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OD﹣DB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①設(shè)△OPQ的面積為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

②如圖2，當(dāng)?shù)?/span>P在線段OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果作△OPQ關(guān)于直線PQ的對(duì)稱圖形△O′PQ，是否存在某時(shí)刻t，使得點(diǎn)Q′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上？若存在，求Q′的坐標(biāo)和t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+9；（2）①S=t2（0＜t≤4）；S=4t（4＜t≤4．5）；②．

【解析】

（1）由于點(diǎn)A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)的意義求出m，n，再由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；

（2）①由題意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面積公式可求出解析式；

②通過(guò)三角形相似，用t的代數(shù)式表示出O′的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的意義可求出t值．

解：（1）∵點(diǎn)A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)的圖象上，

∴m=8×1=8，∴y=，∴8=，即n=1，

設(shè)AB的解析式為y=kx+b，

把（8，1）、B（1，8）代入上式得：

，

解得：．

∴直線AB的解析式為y=﹣x+9；

（2）①由題意知：OP=2t，OQ=t，

當(dāng)P在OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

S=（0＜t≤4），

當(dāng)P在DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

S=（4＜t≤4．5）；

②存在，

作PE⊥y軸，O′F⊥x軸于F，交PE于E，

則∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，

由題意知：∠PO′Q=∠POQ=90°﹣∠PO′E，

∠EPO′=90′﹣∠PO′E

∴△PEO′∽△O′FQ，

∴，

設(shè)QF=b，O′F=a，

則PE=OF=t+b，O′E=2t﹣a，

∴，

解得：a=，b=，

∴O′（，），

當(dāng)Q′在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，

，

解得：t=±，

∵反比例函數(shù)的圖形在第一象限，

∴t＞0，

∴t=．

當(dāng)t=個(gè)長(zhǎng)度單位時(shí)，Q′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．