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【題目】如圖,已知直線y=3x+3與x軸交于點A,與x軸交于點B,過A,B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使ABP是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3(2)(1,)、(1,﹣)、(1,0)或(1,1)

【解析】

試題分析:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.由一次函數的解析式可求出點A、B的坐標,再結合點A、B、C三點的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式;

(2)假設存在,根據拋物線的解析式找出拋物線的對稱軸,設出點P的坐標,利用兩點間的距離找出線段PA、PB和AB的長度,分三種情況討論ABP為等腰三角形,根據等腰三角形的性質找出兩邊相等,從而找出關于m的一元二次方程,解方程求出m值,從而即可得出點P的坐標.

試題解析:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.

直線y=3x+3交x軸于點A,交y軸于點B,

A(﹣1,0),B(0,3).

又拋物線經過A,B,C三點,

根據題意,得:

解得:,

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.

(2)假設存在.

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,

該拋物線的對稱軸為x=1.

設點P的坐標為(1,m),又A(﹣1,0),B(0,3),

則AP=,

BP=,

AB=

ABP是等腰三角形分三種情況:

①當AB=AP時,,

解得:m1=,m2=﹣

點P的坐標為(1,)或(1,﹣);

②當AB=BP時,,

解得:m3=0,m4=6(A、B、P三點共線,舍去),

點P的坐標為(1,0);

③當AP=BP時,,

解得:m5=m6=1,

點P的坐標為(1,1).

綜上可得:在拋物線的對稱軸上存在點P,使ABP是等腰三角形,此時點P的坐標為(1,)、(1,﹣)、(1,0)或(1,1).

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