Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過點A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B（0，m)、C（0，n)兩點，且m、n（m>n)滿足方程組的解.

（1）求證：AC⊥AB；

（2）若點D在直線AC上，且DB=DC，求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，在直線BD上尋找點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）點P的坐標為：（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）

【解析】

（1）先解方程組得出m和n的值，從而得到B，C兩點坐標，結(jié)合A點坐標算出AB2，BC2，AC2，利用勾股定理的逆定理即可證明；

（2）過D作DF⊥y軸于F，根據(jù)題意得到BF=FC，F（0，1），設(shè)直線AC：y=kx+b，利用A和C的坐標求出表達式，從而求出點D坐標；

（3）分AB=AP，AB=BP，AP=BP三種情況，結(jié)合一次函數(shù)分別求解.

解：（1）∵，

得：，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA=，OB=3，OC=1，

∴AB2=AO2+BO2=12，AC2=AO2+OC2=4，BC2=16

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

即AC⊥AB；

（2）如圖1中，過D作DF⊥y軸于F．

∵DB=DC，△DBC是等腰三角形

∴BF=FC，F（0，1），

設(shè)直線AC：y=kx+b，

將A（﹣，0），C（0，﹣1）代入得：

直線AC解析式為：y=x-1，

將D點縱坐標y=1代入y=x-1，

∴x=-2，

∴D的坐標為（﹣2，1）；

（3）點P的坐標為：（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）

設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點E，

把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，

∴，

解得，

∴直線BD的解析式為：y=x+3，

令y=0，代入y=x+3，

可得：x=，∵OB=3，

∴BE=，

∴∠BEO=30°，∠EBO=60°

∵AB=，OA=，OB=3，

∴∠ABO=30°，∠ABE=30°，

當PA=AB時，如圖2，

此時，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P與E重合，

∴P的坐標為（﹣3，0），

當PA=PB時，如圖3，

此時，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴點P的橫坐標為﹣，

令x=﹣，代入y=x+3，

∴y=2，

∴P（﹣，2），

當PB=AB時，如圖4，

∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，

若點P在y軸左側(cè)時，記此時點P為P1，過點P1作P1F⊥x軸于點F，

∴P1B=AB=2，

∴EP1=6﹣2，

∴FP1=3﹣，

令y=3﹣代入y=x+3，

∴x=﹣3，

∴P1（﹣3，3﹣），

若點P在y軸的右側(cè)時，記此時點P為P2，過點P2作P2G⊥x軸于點G，

∴P2B=AB=2，

∴EP2=6+2，

∴GP2=3+，

令y=3+代入y=x+3，

∴x=3，

∴P2（3，3+），

綜上所述，當A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，

點P的坐標為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．