【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,如果對角線AC和BD相交并且相等,那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形.
(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中, 一定是等角線四邊形(填寫圖形名稱);
②若M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD.DA的中點,當對角線AC、BD還要滿足 時,四邊形MNPQ是正方形.
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,D為平面內(nèi)一點.
①若四邊形ABCD是等角線四邊形,且AD=BD,則四邊形ABCD的面積是 ;
②設點E是以C為圓心,1為半徑的圓上的動點,若四邊形ABED是等角線四邊形,寫出四邊形ABED面積的最大值,并說明理由.
【答案】(1)①矩形;②AC⊥BD;(2)①3+2 ;②18.
【解析】試題(1)①只有矩形的對角線相等,所以矩形是等角線四邊形;
②當AC⊥BD時,四邊形MNPQ是正方形,首先證明四邊形MNPQ是菱形,再證明有一個角是直角即可;
(2)①如圖2中,作DE⊥AB于E.根據(jù)S四邊形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC計算,求出相關線段即可;
②如圖3中,設AE與BD相交于點Q,連接CE,只要證明當AC⊥BD且A、C、E共線時,四邊形ABED的面積最大即可.
試題解析:(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中,
∵矩形的對角線相等,∴矩形一定是等角線四邊形,
故答案為:矩形.
②當AC⊥BD時,四邊形MNPQ是正方形.
理由:如圖1中,∵M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點,∴PQ=MN=AC,PN=QM=BD,PQ∥AC,MQ∥BD,
∵AC=BD,∴MN=NP=PQ=QM,∴四邊形MNPQ是菱形,
∵∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=90°,∴∠3=90°,
∴四邊形NMPQ是正方形.
故答案為:AC⊥BD.
(2)①如圖2中,作DE⊥AB于E.
在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC==5,
∵AD=BD,DE⊥AB,∴AE=BD=2,
∵四邊形ABCD是等角線四邊形,∴BD=AC=AD=5,在Rt△BDE中,DE==,∴S四邊形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC
=AEDE+(DE+BC)BE=×2×+(+3)×2=3+2,
故答案為:3+2;
②如圖3中,設AE與BD相交于點Q,連接CE,作DH⊥AE于H,BG⊥AE于G.則DH≤DQ,BG≤BQ,∵四邊形ABED是等角線四邊形,∴AE=BD,
∵S四邊形ABED=S△ABE+S△ADE=AEDH+AEBG=AE(GB+DH)≤AE(BQ+QD),即S四邊形ABED≤AEBD,
∴當G、H重合時,即BD⊥AE時,等號成立,
∵AE=BD,∴S四邊形ABED≤AE2,即線段AE最大時,四邊形ABED的面積最大,
∵AE≤AC+CE,∴AE≤5+1,∴AE≤6,∴AE的最大值為6,
∴當A、C、E共線時,取等號,∴四邊形ABED的面積的最大值為×62=18.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)在平面直角坐標系中,拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(4,0)兩點,且與y軸交于點C,點D在x軸的負半軸上,且BD=BC,有一動點P從點A出發(fā),沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動,同時另一個動點Q從點C出發(fā),沿線段CA以某一速度向點A移動.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若經(jīng)過t秒的移動,線段PQ被CD垂直平分,求此時t的值;
(3)該拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MA的值最。咳舸嬖,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在正方形ABCD外側,作等邊三角形ADE,AC,BE相交于點F,則∠BFC為( 。
A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°
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【題目】如圖,已知線段,點為線段上的一個動點,點分別是和的中點.
(1)若點恰好是中點,則 ;
(2)若,求的長;
(3)試利用“字母代替數(shù)”的方法,說明不論取何值(不超過),的長不變.
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【題目】下表是某網(wǎng)約車公司的專車計價規(guī)則.
計費項目 | 起租價 | 里程費 | 時長費 | 遠途費 |
單價 | 15元 | 2.5元/公里 | 1.5元/分 | 1元/公里 |
注:車費由起租價、里程費、時長費、遠途費四部分構成,其中起租價15元含10分鐘時長費和5公里里程費,遠途費的收取方式為:行車里程10公里以內(nèi)(含10公里)不收遠途費,超過10公里的,超出部分每公里收1元.
(1)若小李乘坐專車,行車里程為20公里,行車時間為30分,則需付車費_______元.
(2)若小李乘坐專車,行車里程為公里,平均時速為,則小李應付車費多少元? (用含的代數(shù)式表示)
(3)小李與小王各自乘坐專車,行車車費之和為76元,里程之和為15公里(其中小王的行車里程不超過5公里).如果行駛時間均為 20分鐘,那么這兩輛專車此次的行駛路程各為多少公里?
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【題目】如圖,已知點A(2,3)和點B(0,2),點A在反比例函數(shù)y= 的圖象上.作射線AB,再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉45°,交反比例函數(shù)圖象于點C,則點C的坐標為________.
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【題目】如圖,某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°,沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°,已知OA=100米,山坡坡度=1:2,且O、A、B在同一條直線上.求電視塔OC的高度以及此人所在位置P的鉛直高度PB.(測傾器高度忽略不計,結果保留根號形式)
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【題目】如圖是一個漢字“互”字,其中,AB∥CD,∠1=∠2,∠MGH=∠MEF.
求證:∠MEF=∠GHN.
證明:∵ AB∥CD(已知)
∴∠1=∠3( )
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠3( )
∴ME∥HN ( )
∴∠MGH=∠ ( )( )
又∵∠MGH=∠MEF (已知)
∴∠MEF=∠GHN( )
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上有兩點A、B,點B在點A的右側,且AB=10,點A表示的數(shù)為﹣6.動點P從點A出發(fā),以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動.
(1)寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù);
(2)經(jīng)過多少時間,線段AP和BP的長度之和為18?
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