Question

【題目】已知，如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1,BC=，對(duì)角線AC，BD交于O點(diǎn)，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F．

（1）求證：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)∠BAC＝∠AOF＝90°推出AB∥EF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AF∥BE，即可推出四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）證△DFO≌△BEO，推出OF＝OE，得出四邊形BEDF是平行四邊形，根據(jù)勾股定理求出AC，求出OA＝AB＝1，求出∠AOB＝45°，根據(jù)∠AOF＝45°，推出EF⊥BD，根據(jù)菱形的判定推出即可．

（1）證明：∵∠AOF＝90°，∠BAO＝90°，

∴AB∥EF，

又∵平行四邊形ABCD，

∴AF∥EB，

∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOF＝45°時(shí)，四邊形BEDF是菱形，理由如下：

∵平行四邊形ABCD，

∴AD∥BC，BO＝DO，

∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，

在△DFO和△BEO中

∵，

∴△DFO≌△BEO（AAS），

∴OF＝OE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵AB＝1，BC＝，

∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC＝2，

∴AO＝1＝AB，

∴∠AOB＝45°，

又∵∠AOF＝45°，

∴∠BOF＝90°，

∴BD⊥EF，

∴四邊形BEDF是菱形，

即在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF能是菱形，此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是45°．