Question

【題目】 如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC.

(1)求A，B兩點的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)求直線l的函數(shù)解析式(其中k，b用含a的式子表示)；

(3)點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

(4)設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），x＝1；（2）y＝ax+a；（3）；（4）以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，（1，﹣）或（1，﹣4）．

【解析】

（1）解方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)直線l：y＝kx+b過A（﹣1，0），得到直線l：y＝kx+k，解方程得到點D的橫坐標為4，求得k＝a，得到直線l的函數(shù)表達式為y＝ax+a；（3）過E作EF∥y軸交直線l于F，設E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；（4）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），設P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一條邊，②若AD是矩形APDQ的對角線，列方程即可得到結(jié)論．

（1）當y＝0時，ax2﹣2ax﹣3a＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

對稱軸為直線x＝＝1；

（2）∵直線l：y＝kx+b過A（﹣1，0），

∴0＝﹣k+b，

即k＝b，

∴直線l：y＝kx+k，

∵拋物線與直線l交于點A，D，

∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，

即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，

∵CD＝4AC，

∴點D的橫坐標為4，

∴﹣3﹣＝﹣1×4，

∴k＝a，

∴直線l的函數(shù)表達式為y＝ax+a；

（3）過E作EF∥y軸交直線l于F，設E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則F（x，ax+a），

∴EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，

∴△ACE的面積的最大值＝﹣a，

∵△ACE的面積的最大值為，

∴﹣a＝，

解得；

（4）以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，

令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝4，

∴D（4，5a），

∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，

設P（1，m），

①若AD是矩形ADPQ的一條邊，則易得Q（﹣4，21a），

∴m＝21a+5a＝26a，則P（1，26a），

∵四邊形ADPQ是矩形，

∴∠ADP＝90°，

∴AD2+PD2＝AP2，

∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，

即a2＝，

∵a＜0，

∴a＝﹣，

∴P（1，﹣）；

②若AD是矩形APDQ的對角線，則易得Q（2，﹣3a），

∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，則P（1，8a），

∵四邊形APDQ是矩形，

∴∠APD＝90°，

∴AP2+PD2＝AD2，

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，

即a2＝，

∵a＜0，

∴a＝﹣ ，

∴P（1，﹣4），

綜上所述，點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P（1，﹣）或（1，﹣4）．