【題目】如圖所示,直線l:y=3x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B.把△AOB沿y軸翻折,點A落到點C,拋物線過點B、C和D(3,0).

(1)求直線BD和拋物線的解析式.
(2)若BD與拋物線的對稱軸交于點M,點N在坐標軸上,以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似,求所有滿足條件的點N的坐標.
(3)在拋物線上是否存在點P,使SPBD=6?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:∵直線l:y=3x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,

∴A(﹣1,0),B(0,3);

∵把△AOB沿y軸翻折,點A落到點C,∴C(1,0).

設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,

∵點B(0,3),D(3,0)在直線BD上,

,

解得k=﹣1,b=3,

∴直線BD的解析式為:y=﹣x+3.

設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)(x﹣3),

∵點B(0,3)在拋物線上,

∴3=a×(﹣1)×(﹣3),

解得:a=1,

∴拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3


(2)解:拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

∴拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,﹣1).

直線BD:y=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點M,令x=2,得y=1,

∴M(2,1).

設(shè)對稱軸與x軸交點為點F,則CF=FD=MF=1,

∴△MCD為等腰直角三角形.

∵以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似,

∴△BND為等腰直角三角形.

如答圖1所示:

(I)若BD為斜邊,則易知此時直角頂點為原點O,

∴N1(0,0);

(II)若BD為直角邊,B為直角頂點,則點N在x軸負半軸上,

∵OB=OD=ON2=3,

∴N2(﹣3,0);

(III)若BD為直角邊,D為直角頂點,則點N在y軸負半軸上,

∵OB=OD=ON3=3,

∴N3(0,﹣3).

∴滿足條件的點N坐標為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3)


(3)解:方法一:

假設(shè)存在點P,使SPBD=6,設(shè)點P坐標為(m,n).

(I)當點P位于直線BD上方時,如答圖2所示:

過點P作PE⊥x軸于點E,則PE=n,DE=m﹣3.

SPBD=S梯形PEOB﹣SBOD﹣SPDE= (3+n)m﹣ ×3×3﹣ (m﹣3)n=6,

化簡得:m+n="7" ①,

∵P(m,n)在拋物線上,

∴n=m2﹣4m+3,

代入①式整理得:m2﹣3m﹣4=0,

解得:m1=4,m2=﹣1,

∴n1=3,n2=8,

∴P1(4,3),P2(﹣1,8);

(II)當點P位于直線BD下方時,如答圖3所示:

過點P作PE⊥y軸于點E,則PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n.

SPBD=S梯形PEOD+SBOD﹣SPBE= (3+m)(﹣n)+ ×3×3﹣ (3﹣n)m=6,

化簡得:m+n=﹣1 ②,

∵P(m,n)在拋物線上,

∴n=m2﹣4m+3,

代入②式整理得:m2﹣3m+4=0,△=﹣7<0,此方程無解.

故此時點P不存在.

綜上所述,在拋物線上存在點P,使SPBD=6,點P的坐標為(4,3)或(﹣1,8).

方法二:

假設(shè)存在點P,使SPBD=6,

過點P作直線l平行BD,則l與BD的距離為d,

∵BD= =3

∴SPBD= BD×d,

∴d=2

∵BD與y軸夾角為45°,

∴BB′=4,

∴將BD上移或下移4個單位,

①上移4個單位,l解析式為:y=﹣x+7,

∵y=x2﹣4x+3,

∴x2﹣3x﹣4=0,

∴x1=4,x2=﹣1,

②下移4個單位,l解析式為y=﹣x﹣1,

∵y=x2﹣4x+3,

∴x2﹣3x+4=0,△<0,∴此方程無解,

綜上所述,點P的坐標為(4,3)或(﹣1,8)


【解析】(1)由題意得到A、B的坐標,由△AOB沿y軸翻折,得到C點坐標,由B、D點坐標求出直線BD的解析式;由點B坐標得到二次函數(shù)解析式;(2)由拋物線的解析式,得到頂點坐標,由已知條件得到△MCD為等腰直角三角形,由點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似,得到△BND為等腰直角三角形,(I)若BD為斜邊,則易知此時直角頂點為原點O,得到點N的坐標;(II)若BD為直角邊,B為直角頂點,則點N在x軸負半軸上,得到點N的坐標;(III)若BD為直角邊,D為直角頂點,則點N在y軸負半軸上,得到點N的坐標;(3)(I)當點P位于直線BD上方時,求出SPBD=S梯形PEOB﹣SBOD﹣SPDE的值,得到點P的坐標;(II)當點P位于直線BD下方時,求出SPBD=S梯形PEOD+SBOD﹣SPBE的值,得到此時點P不存在;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認真仔細.

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(3)根據(jù)(2)中你認為合格的標準,試估計該市中考女生一分鐘仰臥起坐項目測試的合格率是多少?

次數(shù)

6

12

15

18

20

25

27

30

32

35

36

人數(shù)

1

1

7

18

10

5

2

2

1

1

2

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