Question

【題目】某工廠準(zhǔn)備翻建新的大門，廠門要求設(shè)計(jì)成軸對(duì)稱的拱形曲線.已知廠門的最大寬度AB=12m，最大高度OC=4m，工廠的運(yùn)輸卡車的高度是3m，寬度是5.8m.現(xiàn)設(shè)計(jì)了兩種方案.方案一：建成拋物線形狀（如圖1）；方案二：建成圓弧形狀（如圖2）.為確保工廠的卡車在通過廠門時(shí)更安全，你認(rèn)為應(yīng)采用哪種設(shè)計(jì)方案？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】解：第一方案：設(shè)拋物線的表達(dá)式是y=a(x+6)(x6)，

因C(0，4)在拋物線的圖象上，代入表達(dá)式，得a= .

故拋物線的表達(dá)式是y= x2+4.

把第一象限的點(diǎn)(t，3)代入函數(shù)，得3= t2+4，

∴t=3，

∴當(dāng)高度是3m時(shí)，最大寬度是6m.

第二方案：

由垂徑定理得：圓心O′在y軸上(原點(diǎn)的下方)

設(shè)圓的半徑是R，在Rt△OAO′中，由勾股定理得：62+(R4)2=R2，

解得R=6.5，

當(dāng)高度是3m時(shí)，最大寬度= =4 ≈6.9m

根據(jù)上面的計(jì)算得：為了工廠的特種卡車通過廠門更安全，所以采用第二種方案更合理.

【解析】方案一、根據(jù)已知中的AB的長，可得出此拋物線與x軸的兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式為交點(diǎn)式，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式，即可求出函數(shù)解析式，然后將y=3代入求出對(duì)應(yīng)的自變量的值，可得出最大寬度為6m；方案二、根據(jù)題意可知圓點(diǎn)在y軸的（原點(diǎn)）下方，連接O′A，根據(jù)垂徑定理求出OA的長，然后在Rt△OAO′中，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于R的方程，求解得出圓的半徑長，再根據(jù)工廠的運(yùn)輸卡車的高度是3m，求出最大寬度，則寬度較大的設(shè)計(jì)方案能保工廠的卡車在通過廠門時(shí)更安全。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用勾股定理的概念和垂徑定理，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧即可以解答此題．