【題目】有這樣一道習(xí)題:如圖1,已知OAOB是⊙O的半徑,并且OAOB,POA上任一點(diǎn)(不與O、A重合),BP的延長線交⊙OQ,過Q點(diǎn)作⊙O的切線交OA的延長線于R.

1)證明:RP=RQ

2)請?zhí)骄肯铝凶兓?/span>

A、變化一:交換題設(shè)與結(jié)論.已知:如圖1OAOB是⊙O的半徑,并且OAOBPOA上任一點(diǎn)(不與O、A重合)BP的延長線交⊙OQ,ROA的延長線上一點(diǎn),且RP=RQ.證明:RQ為⊙O的切線.

  

B、變化二:運(yùn)動(dòng)探求. ①如圖2,若OA向上平移,變化一中結(jié)論還成立嗎?(只交待判斷) 答:_________.

②如圖3,如果POA的延長線上時(shí),BP交⊙OQ,過點(diǎn)Q作⊙O的切線交OA的延長線于R,原題中的結(jié)論還成立嗎?為什么?

【答案】1)證明見解析;

2變化一:證明見解析;變化二①結(jié)論成立;②結(jié)論成立,理由見解析.

【解析】試題分析:(1)首先連接OQ,由切線的性質(zhì),可得∠OQB+∠BQR=90°,又由OA⊥OB,可得∠OPB+∠B=90°,繼而可證得∠PQR=∠BPO=∠RPQ,則可證得RP=RQ,

(2)A、變化一,連接OQ, 證明∠OQR=90°即可;

B、變化二:若OA向上平移,變化一中的結(jié)論還成立,證明思路同變化一;

②如果P在OA的延長線上時(shí),BP交⊙O于Q,過點(diǎn)Q作⊙O的切線交OA的延長線于R,原題中的結(jié)論還成立,連接OQ,證明思路同(1);

試題解析:(1)連接OQ,

∵OQ=OB,∴∠OBP=∠OQP,

∵QR⊙O的切線,

∴OQ⊥QR,

∠OQP+∠PQR=90°,

∠OBP+∠OPB=90°,

∠PQR=∠OPB,

∵∠OPB∠QPR為對頂角,

∴∠OPB=∠QPR,∴∠PQR=∠QPR

∴RP=RQ;

變化一、連接OQ,

∵RP=RQ,

∴∠PQR=∠QPR=∠BPO,

又∵OB=OQ,OA⊥OB,

∴∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPO=90°,

∴∠OQB+∠PQR=90°,

即∠OQR=90°,

∴RQ為⊙O的切線;

變化二、(1)結(jié)論成立

連接OQ,

∵RP=RQ,

∴∠PQR=∠QPR=∠BPM,

又∵OB=OQ,RP⊥OB,

∴∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPM=90°,

∴∠OQB+∠PQR=90°,

即∠OQR=90°,

∴RQ為⊙O的切線;

(2)結(jié)論成立,

連接OQ,

∵RQ是⊙O的切線,

∴OQ⊥QR,

∴∠OQB+∠PQR=90°,

∵OA⊥OB,

∴∠OPB+∠B=90°,

又∵OB=OQ,

∴∠OQB=∠B,

∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ,

∴RP=RQ.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在一條筆直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B兩地之間,甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地,乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地,在甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過程中,甲、乙兩車各自與C地的距離ykm)與甲車行駛時(shí)間th)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列結(jié)論:①甲車出發(fā)2h時(shí),兩車相遇;②乙車出發(fā)1.5h時(shí),兩車相距170km;③乙車出發(fā)h時(shí),兩車相遇;④甲車到達(dá)C地時(shí),兩車相距40km.其中正確的是______(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)).

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(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

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①求證:OF=OG;

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(3)(2)的條件下,在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使△CFP為等腰直角三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

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(1)求證:∠ABD=∠C;

(2)如圖 2,在(1)問的條件下,分別作∠ABD、∠DBC 的平分線交 DM 于 E、F,若∠BFC=1.5∠ABF,∠FCB=2.5∠BCN,

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