【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,有矩形AOBC,點A、B的坐標分別為(0,4)、(10,0),點P的坐標為(2,0),點M在線段AO上,點N在線段AC上,總有∠MPN=90 ,點M從點O運動到點A,當點M運動到A點時,點N與點C重合(如圖2)。令AM=x

(1).直接寫出點C的坐標___________;

(2)、①設(shè)MN2=y,請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最小值;

②連接APMN于點D,若MNA P,求x的值;

(3)、當點M在邊AO上運動時,∠PMN的大小是否發(fā)生變化?請說明理由.

1 2

【答案】(1)點C的坐標為(10,4)(2)①x=4時,y有最小值20;②;(3)不發(fā)生變化.

【解析】(1)由已知條件求出點C的坐標;(2)過N點作NQ⊥OP的輔助線,利用相似三角形得出二次函數(shù)解析式,再求出y的最小值;(3)利用A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上,(或求tan∠PMN為一定值),判斷∠PMN的大小是否發(fā)生變化.

(1)點C的坐標為(10,4)

(2)①過N點作NQ⊥OP,垂足為Q

∴△POM∽△NQP,

∴PQ=8-2x

∴MN2=AM2+ AN2

∴y= x2+(10-2 x) 2=5 x 2-40 +100=5(x-4) 2+20(0≤x≤4)

∴當x=4時,y有最小值20;

②取MN的中點E,連AE、PE,

∵∠MAN=∠MPN=90°

∴A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上

由垂徑定理可知AD=PD,∴AM=PM=x

在Rt△POM中,

, 解得

(3)∠PMN的大小不發(fā)生變化

方法1,∵A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上

∴∠PMN=∠PAN

∴∠PMN的大小不發(fā)生變化

方法2,∵△POM∽△NQP

∴tan∠PMN==2

∴∠PMN的大小不發(fā)生變化

“點睛”此題考查矩形的性質(zhì),二次函數(shù),相似三角形,垂徑定理,勾股定理以及關(guān)于點運動變化變化的情況,解題時要多角度考慮解法.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知等腰三角形的兩條邊分別是3,6,則第三邊的長為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知點A(6,0),O為坐標原點,P是線段OA上任意一點(不含端點O,A),過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下,它們的頂點分別為B、C,射線OBAC相交于點D.當OD=AD=5時,這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于______________。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD , ∠1=15°.

(1)求∠2的度數(shù).
(2)求證:BOBE

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在一次數(shù)學課外實踐活動中,要求測量山坡前某建筑物的高度AB.小剛在D處用高1.5m的測角儀CD,測得該建筑物頂端A的仰角為45°,然后沿傾斜角為30°的山坡向上前進20m到達E,重新安裝好測角儀后又測得該建筑物頂端A的仰角為60°.求該建筑物的高度AB.(結(jié)果保留根號)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖:在平行四邊形ABCD中,點E在BA的延長線上,且BE=AD,點F在AD上,AF=AB,求證:CF=EF.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,O為BC的中點,AC與半圓O相切于點D.

(1)求證:AB是半圓O所在圓的切線;

(2)若cosABC=,AB=12,求半圓O所在圓的半徑.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A,經(jīng)過點A的直線交該拋物線于點B,交y軸于點C,且點C是線段AB的中點.

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;

(2)求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知在同一平面內(nèi)有一直線AB和一點P,過點PAB的平行線,可畫( )

A. 1 B. 0 C. 1條或0 D. 無數(shù)條

查看答案和解析>>

同步練習冊答案