【題目】如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=14,AD= 4 , CD=7.直線l經(jīng)過A,D兩點,且sin∠DAB= . 動點P在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動,同時動點Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點D運動,過點P作PM垂直于AB,與折線A→D→C相交于點M,當P,Q兩點中有一點到達終點時,另一點也隨之停止運動.設(shè)點P,Q運動的時間為t秒(t>0),△MPQ的面積為S.
(1)求腰BC的長;
(2)當Q在BC上運動時,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,是否存在某一時刻t,使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由;
(4)隨著P,Q兩點的運動,當點M在線段DC上運動時,設(shè)PM的延長線與直線l相交于點N,試探究:當t為何值時,△QMN為等腰三角形?
【答案】(1)5;(2)S=﹣5t2+14t(0<t≤1)(3)不存在,理由見解析;(4)t=或t=
【解析】
試題(1)利用梯形性質(zhì)確定點D的坐標,利用sin∠DAB=特殊三角函數(shù)值,得到△AOD為等腰直角三角形,求出梯形的高,然后利用勾股定理求出BC有長;
(2)當0<t≤1時,S=×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t;
(3)在(2)的條件下,不存在某一時刻t,使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的
(4)△QMN為等腰三角形的情形有兩種,需要分類討論,避免漏解.
試題解析:(1)5
(2)當0<t≤1時,S=×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t
(3)梯形ABCD的面積為42
﹣5t2+14t=42程無解,所以△MPQ的面積不能為梯形ABCD的。
(4)△QMN為等腰三角形,有兩種情形:
①如圖4所示,點M在線段NM的右側(cè)上
,
MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,MN=DM=2t-4,
由MN=MQ,得16-7t=2t-4,解得t=;
②如圖5所示,當Q在MN的左側(cè)時,5t-5+(2t-4)-7=(2t-4)+4-4,
解得:t=.
故當t=或t=時,△QMN為等腰三角形.
考點: 一次函數(shù)綜合題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四個命題:
①三角形的一條中線能將三角形分成面積相等的兩部分;
②有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等;
③點P(1,2)關(guān)于原點的對稱點坐標為(-1,-2);
④兩圓的半徑分別是3和4,圓心距為d,若兩圓有公共點,則
其中正確的是
A. ①② B.①③ C.②③ D.③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的頂點為A(1,4),拋物線與y軸交于點B(0,3),與x軸交于C、D兩點.點P是x軸上的一個動點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求C、D兩點坐標及△BCD的面積;
(3)若點P在x軸上方的拋物線上,滿足S△PCD=S△BCD,求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上.
(1)求直線AE的解析式;
(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是CP上的一點,點N是CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值;
(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點D,y′的頂點為點F.在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在一點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,點O在邊長為6的正方形ABCD的對角線AC上,以O為圓心OA為半徑的⊙O交AB于點E.
(1)⊙O過點E的切線與BC交于點F,當0<OA<6時,求∠BFE的度數(shù);
(2)設(shè)⊙O與AB的延長線交于點M,⊙O過點M的切線交BC的延長線于點N,當6<OA<12時,利用備用圖作出圖形,求∠BNM的度數(shù).
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【題目】已知:紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源,待貨物售出后再進行結(jié)算,未售出的由廠家負責處理).當每噸售價為260元時,月銷售量為45噸.該建材店為提高經(jīng)營利潤,準備采取降價的方式進行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):當每噸售價每下降10元時,月銷售量就會增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元.設(shè)每噸材料售價為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤為y(元).
(1)當每噸售價是240元時,計算此時的月銷售量;
(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)該建材店要獲得最大月利潤,售價應(yīng)定為每噸多少元?
(4)小靜說:“當月利潤最大時,月銷售額也最大.”你認為對嗎?請說明理由.
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【題目】定義:在平面直角坐標系中,點Q坐標為(x,y),若過點Q的直線l與x軸夾角為45°時,則稱直線l為點Q的“湘依直線”.
(1)已知點A的坐標為(6,0),求點A的“湘依直線”表達式;
(2)已知點D的坐標為(0,﹣4),過點D的“湘依直線”圖象經(jīng)過第二、三、四象限,且與x軸交于C點,動點P在反比例函數(shù)y=(x>0)上,求△PCD面積的最小值及此時點P的坐標;
(3)已知點M的坐標為(0,2),經(jīng)過點M且在第一、二、三象限的“湘依直線”與拋物線y=x2+(m﹣2)x+m+2相交與A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若0≤x1≤2,0≤x2≤2,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= .對角線AC,BD相交于點O,將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點E,F(xiàn).
(1)證明:當旋轉(zhuǎn)角為90°時,四邊形ABEF是平行四邊形;
(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如果能,說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).
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【題目】如圖,反比例函數(shù)上有一點,點橫坐標為1,過點的直線與、軸分別交于點、點,.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)將直線沿軸方向向下平移使其過反比例函數(shù)的右支圖象上的點,且點橫坐標為,直線交軸于點,連接、,求.
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