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【題目】為了全面推進素質教育,增強學生體質,豐富校園文化生活,高新區(qū)某校將舉行春季特色運動會,需購買A,B兩種獎品.經市場調查,若購買A種獎品3件和B種獎品2件,共需60元;若購買A種獎品1件和B種獎品3件,共需55元.

(1)A、B兩種獎品的單價各是多少元;

(2)運動會組委會計劃購買AB兩種獎品共100件,購買費用不超過1160元,且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍,運動會組委會共有幾種購買方案?

(3)在第(2)問的條件下,設計出購買獎品總費用最少的方案,并求出最小總費用.

【答案】1A獎品的單價是10/件,B獎品的單價是15/件;(2)共有8種購買方案;(3)購買總費用最少的方案是購買A獎品75件、B獎品25件,最小費用為1125元.

【解析】

1)設A獎品的單價是x/件,B獎品的單價是y/件,根據若購買A種獎品3件和B種獎品2件,共需60元;若購買A種獎品1件和B種獎品3件,共需55,即可得出關于x、y的二元一次方程組,解之即可得出結論;
2)設購買A種獎品m件,購買總費用W元,則購買B種獎品(100-m)件,根據總價=單價×購買數量,即可得出W關于m的函數關系式,再根據購買費用不超過1160元且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍,可得出關于m的一元一次不等式組,解之即可得出m的取值范圍,即可求出購買方案;

3)在(2)的基礎上,利用一次函數的增減性質即可解決最值問題.

解:(1)設A獎品的單價是x/件,B獎品的單價是y/件,
根據題意,得:

解得:

答:A獎品的單價是10/件,B獎品的單價是15/件.
2)設購買A種獎品m件,購買總費用W元,則購買B種獎品(100-m)件,
根據題意,得:W=10m+15100-m=-5m+1500
∵購買費用不超過1160元,且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍,

解得:68≤m≤75
W=-5m+150068≤m≤75).

m為正整數,∴m=68、69、70、7172、73、74、75,即共有8種購買方案;

3)由(2)得:W=-5m+150068≤m≤75).

k=-50,
Wm的增大而減小,
∴當m=75時,W取最小值,最小值=-5×75+1500=1125,此時100-m=100-75=25
答:購買總費用最少的方案是購買A獎品75件、B獎品25件,最小費用為1125元.

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