Question

【題目】如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．

（1）求證：判斷四邊形的形狀，并證明；

（2）若，求及四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）是平行四邊形，詳見解析；（2）12

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得∠ABC=∠BAC=45°，根據(jù)垂直定義得∠ECB=∠CBF=45°，證△CED≌△BDF（ASA），推出ED=FD，CD=BD即可；

（2）延長(zhǎng)CE與AB相交于H，根據(jù)勾股定理求出CD,AC和AB,推出EH是△ABF的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)得到BF=2EH,AE=EF，根據(jù)勾股定理求出EH，根據(jù)平行四邊形面積公式直接再求解．

解：（1）四邊形是平行四邊形，理由：

∵在△ABC中，，AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC=45°

∵D是BC中點(diǎn)

∴CD=BD

∵BF⊥AB

∴∠ABF=90°

∴∠CBF=90°-45°=45°

∵CE平分∠ACB

∴∠ECB=∠CBF=45°

在△CED和△BFD中

∴△CED≌△BDF（ASA）

∴ED=FD

又CD=BD

∴四邊形是平行四邊形

（2）延長(zhǎng)CE與AB相交于H

設(shè)CD=x,則AC=BC=2x

在直角三角形ADC中

解得x=3

∴AC=6

∴AB=

∵AC=BC,CE平分∠ACB

∴CH⊥AB,BH=

又∵

∴EH∥BF

∴EH是△ABF的中位線

∴BF=2EH,AE=EF

又∵ED=DF

∴AE=

∴EH=

∴BF=2EH=2

∴平行四邊形的面積：BFBH=