Question

【題目】已知直線y=2x﹣5與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．

（1）如圖，當點M與點A重合時，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，求點N的坐標和線段MN的長；

（3）拋物線y=﹣x2+bx+c在直線AB上平移，是否存在點M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+5x﹣；（2）2；（3）M點的坐標為（2，﹣1）或（4，3）．

【解析】試題分析：（1）①首先求得直線與x軸，y軸的交點坐標，利用二次函數(shù)的對稱軸的公式即可求解；

②N在直線上同時在二次函數(shù)上，因而設(shè)N的橫坐標是a，則在兩個函數(shù)上對應(yīng)的點的縱坐標相同，據(jù)此即可求得a的值，即N的坐標，過N作NC⊥x軸，垂足為C，利用勾股定理即可求得MN的長；

（2）△AOB的三邊長可以求得OB=2OA，AB邊上的高可以求得是，拋物線y=-x2+bx+c在直線AB上平移，則MN的長度不變，根據(jù)（1）的結(jié)果是2，MN是AB邊上的高的二倍，當OM⊥AB或ON⊥AB時，兩個三角形相似，據(jù)此即可求得M的坐標．

試題解析：（1）①∵直線y=2x-5與x軸和y軸交于點A和點B，

∴A(，0)，B（0，-5）．

當頂點M與點A重合時，

∴M(，0)．

∴拋物線的解析式是：y＝(x)2．即y＝x2+5x．

②∵N在直線y=2x-5上，設(shè)N（a，2a-5），又N在拋物線y＝x2+5x上，

∴2a5＝a2+5a．

解得a1＝，a2＝（舍去）

∴N(，4)．

過N作NC⊥x軸，垂足為C．

∵N(，4)，

∴C(，0)．

∴NC=4．MC＝OMOC＝＝2．

∴MN＝；

（2）設(shè)M（m，2m-5），N（n，2n-5）．

∵A(，0)，B（0，-5），

∴OA=，OB=5，則OB=2OA，AB=，

當∠MON=90°時，∵AB≠MN，且MN和AB邊上的高相等，因此△OMN與△AOB不能全等，

∴△OMN與△AOB不相似，不滿足題意．

當∠OMN=90°時， ，即，解得OM=，

則m2+（2m-5）2=（）2，解得m=2，

∴M（2，-1）；

當∠ONM=90°時， ，即，解得ON=，

則n2+（2n-5）2=（）2，解得n=2，

∵OM2=ON2+MN2，

即m2+（2m-5）2=5+（2）2，

解得m=4，

則M的坐標是M（4，3）．

故M的坐標是：（2，-1）或（4，3）．