Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ﹣2+2alnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間[ ，2]上的最小值為0，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣ + = （x＞0）．

a≤0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

a＞0時(shí)，f′（x）= ，則x∈ 時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

x∈ 時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增

（2）解：由（1）可得：

①a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[ ，2]上單調(diào)遞減，則f（2）=1﹣2+2aln2=0，解得a= ，舍去．

②a＞0時(shí)，

（i） ≥2，即0＜a≤ 時(shí)，f（x）在[ ，2]上單調(diào)遞減，則f（2）=1﹣2+2aln2=0，解得a= ，舍去．

（ii）0＜ ，即a≥2時(shí)，f（x）在[ ，2]上單調(diào)遞增，則f（ ）=4﹣2+2aln =0，解得a= ＜2，舍去．

（iii） ，即 時(shí)，f（x）在[ ， ）上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增．

則f（ ）=2a﹣2+2aln =0，化為：2a﹣2=2alna，

令g（x）=2x﹣2﹣2xlnx（x＞0），g（1）=0，

g′（x）=2﹣2lnx﹣2=﹣2lnx，可得x＞1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，1＞x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．

∴x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值．

∴g（x）≤g（1）=0，因此2a﹣2=2alna有唯一解a=1．滿足條件．

綜上可得：a=1．

【解析】（1）f′（x）=﹣ + = （x＞0）．分類討論：a≤0時(shí)，a＞0時(shí)，即可得出單調(diào)性．（2）由（1）可得：①a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[ ，2]上單調(diào)遞減，可得f（2）=0，解得a．②a＞0時(shí)，分類討論：（i） ≥2，即0＜a≤ 時(shí)；（ii）0＜ ，即a≥2時(shí)；（iii） ，即 時(shí)，利用其單調(diào)性即可得出極值與最值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．