Question

【題目】如圖，已知∠MON＝90°，A是∠MON內(nèi)部的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥ON，垂足為點(diǎn)B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以2厘米/秒的速度沿OM方向運(yùn)動(dòng)，EF與OA交于點(diǎn)C，連接AE，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）.

（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，△EOF與△ABO是否相似？請(qǐng)說明理由；

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，不論t取何值，總有EF⊥OA，為什么？

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△AEB與△OEF相似？

Answer 1

【答案】（1）△EOF∽△ABO．理由見解析；（2）見解析；（3）當(dāng)t＝時(shí)，存在△OEF∽△BEA．

【解析】

（1）運(yùn)用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，即可得出△EOF∽△ABO；

（2）證明Rt△EOF∽Rt△ABO，得出對(duì)應(yīng)角相等，即可得到∠FCO＝90°，進(jìn)而可得EF⊥OA；

（3）分兩種情況討論：△OEF∽△BEA；△OEF∽△BAE，分別依據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，求得t的值，再根據(jù)題意判斷是否符合題意即可．

（1）△EOF∽△ABO；

理由：∵t＝1，

∴OE＝1.5厘米，OF＝2厘米，

∵AB＝3厘米，OB＝4厘米，

∴＝，＝，

∴＝，

∵∠EOF＝∠ABE＝90°，

∴△EOF∽△ABO；

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，OE＝1.5t，OF＝2t．

∵AB＝3，OB＝4，

∴＝，＝，

∴＝，

又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO，

∴∠AOB＝∠EFO．

∵∠AOB+∠FOC＝90°，

∴∠EFO+∠FOC＝90°，即∠FCO＝90°，

∴EF⊥OA；

（3）由題可得∠EOF＝∠ABE＝90°，

若△OEF∽△BEA，則，

∴，

解得t＝（符合題意）；

若△OEF∽△BAE，則，

∴，

解得t＝0（不合題意），

綜上所述，當(dāng)t＝時(shí)，存在△OEF∽△BEA．