Question

【題目】二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，4），且與直線相交于A、B兩點(diǎn)（如圖），A點(diǎn)在y軸上，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣3，0）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)N在何位置時(shí)，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，MN和NC互相垂直平分．

【解析】

（1）先求得A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)M的橫坐標(biāo)是x，則根據(jù)M和N所在函數(shù)的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標(biāo)，利用x表示出MN的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；

（3）BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則BC=MC，據(jù)此即可列方程，求得x的值，從而得到N的坐標(biāo)．

（1）由題設(shè)可知A（0，1），B（﹣3，），根據(jù)題意得：

解得，則二次函數(shù)的解析式是；

（2）設(shè)N()，則M、P的坐標(biāo)分別為，，∴MN=PN-PM=，則當(dāng)時(shí)，MN的最大值為；

(3)連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即，且，解得，故當(dāng)時(shí)，MN和NC互相垂直平分．