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【題目】【背景】已知:lmnk,平行線lm、mn、nk之間的距離分別為d1,d2,d3,且d1d3=1,d2=2.我們把四個頂點分別在l,mn,k這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形” .

【探究1】(1)如圖1,正方形ABCD為“格線四邊形”,BEl于點E,BE的反向延長線交直線k于點F.求正方形ABCD的邊長.

【探究2】(2)如圖2,菱形ABCD為“格線四邊形”且∠ADC=60°,△AEF是等邊三角形,AEk于點E,∠AFD=90°,直線DF分別交直線l,k于點G、點M.求證:ECDF

【拓展】(3)如圖3,lk,等邊△ABC的頂點AB分別落在直線l,k上,ABk于點B,且∠ACD=90°,直線CD分別交直線lk于點G、點M,點D、點E分別是線段GM、BM上的動點,且始終保持ADAE,DHl于點H.猜想:DH在什么范圍內,BCDE?并說明此時BCDE的理由.

【答案】(1);(2)證明見解析;(3)當2<DH<4時,BCDE.理由見解析.

【解析】(1)證明△ABE≌△BCF,即可求得AE的長,然后利用勾股定理即可求解;
(2)過BBEl于點E,交k于點F,易證△AEB∽△BCF,然后分AB是長和AB是寬兩種情況進行討論求得;
(3)連接AC,證明直角△AEC≌直角△AFD即可證得;
(4)首先證明AMBC,然后證明RtABERtACD,得到∠BAE=CAD,則AMED,即可證得BCDE

(1)解:∵lk,BEl,

∴∠BFC=∠BEA=90°,

∴∠ABE+∠BAE=90°,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABC=90°,AB=BC,

∴∠ABE+∠CBF=90°,

∴∠BAE=∠CBF,

在△ABE和△BCF中,∠BEA=∠CFB,∠BAE=∠CBF,AB=BC

,∴△ABE≌△BCFAAS),

AE=BF,

d1=d3=1,d2=2,

BE=3,AE=1,

在直角△ABE中,AB===,

即正方形的邊長是;

(2)證明:連接AC,如圖2所示:

∵四邊形ABCD是菱形,且∠ADC=60°,

AC=AD,

∵△AEF是等邊三角形,

AE=AF,

AEk,∠AFD=90°,

∴∠AEC=∠AFD=90°,

RtAECRtAFD中,AC=AD,AE=AF,

,

RtAECRtAFDHL),

EC=DF;

(3)解:當2<DH<4時,BCDE.理由如下:

如圖3所示,當2<DH<4時,點D在線段CM上,連接AM,

則∠ABM=∠ACM=90°,AB=AC,AM=AM,

RtABMRtACM中,AM=AM,AB=AC,

RtABMRtACMHL),

∴∠BAM=∠CAM,

AMBC,

RtABERtACD中,AE=AD,AB=AC,

,

RtABERtACDHL),

∴∠BAE=∠CAD,

∴∠EAM=∠DAM

AMED,

BCDE

“點睛”本題考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質,正確構造相似的三角形是關鍵,解題時根據題意正確作出輔助線.

練習冊系列答案
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