【題目】已知:如圖,在Rt△ABO中,∠B=90°,∠OAB=30°,OA=3.以點O為原點,斜邊OA所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,以點P(4,0)為圓心,PA長為半徑畫圓,⊙P與x軸的另一交點為N,點M在⊙P上,且滿足∠MPN=60°.⊙P以每秒1個單位長度的速度沿x軸向左運動,設運動時間為ts,解答下列問題:
(發(fā)現)(1)的長度為多少;
(2)當t=2s時,求扇形MPN(陰影部分)與Rt△ABO重疊部分的面積.
(探究)當⊙P和△ABO的邊所在的直線相切時,求點P的坐標.
(拓展)當與Rt△ABO的邊有兩個交點時,請你直接寫出t的取值范圍.
【答案】【發(fā)現】(1)的長度為;(2)重疊部分的面積為;【探究】:點P的坐標為;或或;【拓展】t的取值范圍是或,理由見解析.
【解析】
發(fā)現:(1)先確定出扇形半徑,進而用弧長公式即可得出結論;
(2)先求出PA=1,進而求出PQ,即可用面積公式得出結論;
探究:分圓和直線AB和直線OB相切,利用三角函數即可得出結論;
拓展:先找出和直角三角形的兩邊有兩個交點時的分界點,即可得出結論.
[發(fā)現]
(1)∵P(4,0),∴OP=4.
∵OA=3,∴AP=1,∴的長度為.
故答案為:;
(2)設⊙P半徑為r,則有r=4﹣3=1,當t=2時,如圖1,點N與點A重合,∴PA=r=1,設MP與AB相交于點Q.在Rt△ABO中,∵∠OAB=30°,∠MPN=60°.
∵∠PQA=90°,∴PQPA,∴AQ=AP×cos30°,∴S重疊部分=S△APQPQ×AQ.
即重疊部分的面積為.
[探究]
①如圖2,當⊙P與直線AB相切于點C時,連接PC,則有PC⊥AB,PC=r=1.
∵∠OAB=30°,∴AP=2,∴OP=OA﹣AP=3﹣2=1;
∴點P的坐標為(1,0);
②如圖3,當⊙P與直線OB相切于點D時,連接PD,則有PD⊥OB,PD=r=1,∴PD∥AB,∴∠OPD=∠OAB=30°,∴cos∠OPD,∴OP,∴點P的坐標為(,0);
③如圖4,當⊙P與直線OB相切于點E時,連接PE,則有PE⊥OB,同②可得:OP;
∴點P的坐標為(,0);
[拓展]
t的取值范圍是2<t≤3,4≤t<5,理由:
如圖5,當點N運動到與點A重合時,與Rt△ABO的邊有一個公共點,此時t=2;
當t>2,直到⊙P運動到與AB相切時,由探究①得:OP=1,∴t3,與Rt△ABO的邊有兩個公共點,∴2<t≤3.
如圖6,當⊙P運動到PM與OB重合時,與Rt△ABO的邊有兩個公共點,此時t=4;
直到⊙P運動到點N與點O重合時,與Rt△ABO的邊有一個公共點,此時t=5;
∴4≤t<5,即:t的取值范圍是2<t≤3,4≤t<5.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O,分別交AC、BC于點D、E,點F在AC的延長線上,且∠A=2∠CBF.
(1)求證:BF與⊙O相切.
(2)若BC=CF=4,求BF的長度.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( 。
A. 擲一枚均勻的骰子,骰子停止轉動后,5點朝上是必然事件
B. 明天下雪的概率為,表示明天有半天都在下雪
C. 甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次,他們成績的平均數相同,方差分別是S甲2=0.4,S乙2=0.6,則甲的射擊成績較穩(wěn)定
D. 了解一批充電寶的使用壽命,適合用普查的方式
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖是小強洗漱時的側面示意圖,洗漱臺(矩形ABCD)靠墻擺放,高AD=80cm,寬AB=48cm,小強身高166cm,下半身FG=100cm,洗漱時下半身與地面成80°(∠FGK=80°),身體前傾成125°(∠EFG=125°),腳與洗漱臺距離GC=15cm(點D,C,G,K在同一直線上).
(1)此時小強頭部E點與地面DK相距多少?
(2)小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方,他應向前或后退多少?
(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17, ≈1.41,結果精確到0.1cm)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了弘揚我國古代數學發(fā)展的偉大成就,某校九年級進行了一次數學知識競賽,并設立了以我國古代數學家名字命名的四個獎項:“祖沖之獎”、“劉徽獎”、“趙爽獎”和“楊輝獎”,根據獲獎情況繪制成如圖1和圖2所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,并得到了獲“祖沖之獎”的學生成績統(tǒng)計表:
“祖沖之獎”的學生成績統(tǒng)計表:
分數分 | 80 | 85 | 90 | 95 |
人數人 | 4 | 2 | 10 | 4 |
根據圖表中的信息,解答下列問題:
這次獲得“劉徽獎”的人數是多少,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
獲得“祖沖之獎”的學生成績的中位數是多少分,眾數是多少分;
在這次數學知識竟賽中有這樣一道題:一個不透明的盒子里有完全相同的三個小球,球上分別標有數字“”,“”和“2”,隨機摸出一個小球,把小球上的數字記為x放回后再隨機摸出一個小球,把小球上的數字記為y,把x作為橫坐標,把y作為縱坐標,記作點用列表法或樹狀圖法求這個點在第二象限的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖是小朋友蕩秋千的側面示意圖,靜止時秋千位于鉛垂線BD上,轉軸B到地面的距離BD=3m.小亮在蕩秋千過程中,當秋千擺動到最高點A時,測得點A到BD的距離AC=2m,點A到地面的距離AE=1.8m;當他從A處擺動到A′處時,有A'B⊥AB.
(1)求A′到BD的距離;
(2)求A′到地面的距離.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】A,C,B三地依次在一條筆直的道路上,甲、乙兩車同時分別從A,B兩地出發(fā),相向而行,甲車從A地行駛到B地就停止,乙車從B地行駛到A地后立即以相同的速度返回B地,在整個行駛的過程中,甲、乙兩車均保持勻速行駛,甲、乙兩車距C地的距離之和y(km)與甲車出發(fā)的時間t(h)之間的函數關系如圖所示,則乙車第二次到達C地時,甲車距B地的距離為______km.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向,距離燈塔20海里的A處,它向東航行多少海里到達燈塔P南偏西45°方向上的B處(參考數據:≈1.732,結果精確到0.1)?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的半圓分別交AC、BC于點D、E兩點,BF與⊙O相切于點B,交AC的延長線于點F.
(1)求證:D是AC的中點;
(2)若AB=12,sin∠CAE=,求CF的值.
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