Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)E為x軸下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△ABE=S△ABC時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x2+x﹣5；(2)E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）；(3)存在滿足條件的點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為或

．

【解析】

（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）當(dāng)S△ABE=S△ABC時(shí)，可知E點(diǎn)和C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在△CAE中，過E作ED⊥AC于點(diǎn)D，可求得ED和AD的長度，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由條件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的對應(yīng)邊可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得，，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2+x﹣5；

（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∵S△ABE=S△ABC，且E點(diǎn)在x軸下方，

∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)和C點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，

當(dāng)y=﹣5時(shí)，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）；

（3）假設(shè)存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（m，m2+m﹣5），

如圖，連接AP、CE、AE，過E作ED⊥AC于點(diǎn)D，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，

則AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，

在Rt△AOC中，OA=OC=5，則AC=，∠ACO=∠DCE=45°，

由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，

∴AD=AC﹣DC=﹣=4，

當(dāng)∠BAP=∠CAE時(shí)，則△EDA∽△PQA，

∴，即=，

∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），

當(dāng)m2+m﹣5=（5+m）時(shí)，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（與A點(diǎn)重合，舍去），

當(dāng)m2+m﹣5=﹣（5+m）時(shí)，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（與A點(diǎn)重合，舍去），

∴存在滿足條件的點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為或．