【題目】如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動點,由A向C運動(與A、C不重合),Q是CB延長線上一點,與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合),過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)當(dāng)∠BQD=30°時,求AP的長;
(2)證明:在運動過程中,點D是線段PQ的中點;
(3)當(dāng)運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長;如果變化請說明理由.
【答案】
(1)
解:設(shè)AP=x,則BQ=x,
∵∠BQD=30°,∠C=60°,
∴∠QPC=90°,
∴QC=2PC,即x+6=2(6﹣x),
解得x=2,
即AP=2
(2)
證明:如圖,
過P點作PF∥BC,交AB于F,
∵PF∥BC,
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°,
∴PF=AP=AF,
∴PF=BQ,
又∵∠BDQ=∠PDF,∠DBQ=∠DFP,
∴△DQB≌△DPF,
∴DQ=DP即D為PQ中點
(3)
運動過程中線段ED的長不發(fā)生變化,是定值為3,
理由:∵PF=AP=AF,PE⊥AF,
∴ ,
又∵△DQB≌△DPF,
∴ ,
∴
【解析】(1)先判斷出∠QPC是直角,再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出QC=2PC,建立方程求解決即可;(2)先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60°,進(jìn)而判斷出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出結(jié)論;(3)利用等邊三角形的性質(zhì)得出EF= AF,借助DF=DB,即可得出DF= BF,最后用等量代換即可.
【考點精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列語句中,正確的是( )
①三個點確定一個圓;②同弧或等弧所對的圓周角相等;③平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的;④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形。
A.①②B.②③C.②④D.④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面事件是隨機(jī)事件的是( )
A.擲一枚硬幣,出現(xiàn)反面
B.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱到8℃時會沸騰
C.實數(shù)的絕對值不小于零
D.如果a,b是實數(shù),那么ab=ba
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ABC=90°,∠EBE′=90°,AB=BC,BE=BE′,若AE=1,BE=2,∠BE′C=135°,求EC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年,全社會對空氣污染問題越來越重視,空氣凈化器的銷量也在逐年增加.某商場從廠家購進(jìn)了A,B兩種型號的空氣凈化器,兩種凈化器的銷售相關(guān)信息見下表:
A型銷售數(shù)量(臺) | B型銷售數(shù)量(臺) | 總利潤(元) |
5 | 10 | 2 000 |
10 | 5 | 2 500 |
(1)每臺A型空氣凈化器和B型空氣凈化器的銷售利潤分別是多少?
(2)該公司計劃一次購進(jìn)兩種型號的空氣凈化器共100臺,其中B型空氣凈化器的進(jìn)貨量不少于A型空氣凈化器的2倍,為使該公司銷售完這100臺空氣凈化器后的總利潤最大,請你設(shè)計相應(yīng)的進(jìn)貨方案;
(3)已知A型空氣凈化器的凈化能力為300 m3/小時,B型空氣凈化器的凈化能力為200 m3/小時.某長方體室內(nèi)活動場地的總面積為200 m2,室內(nèi)墻高3 m.該場地負(fù)責(zé)人計劃購買5臺空氣凈化器每天花費30分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新,如不考慮空氣對流等因素,至少要購買A型空氣凈化器多少臺?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,梯形ABCD中,AD∥BC,P是AB的中點,過P點作AD的平行線交DC于Q點.
(1)PQ與BC平行嗎?為什么?
(2)測DQ與CQ的長,是否相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校七年級四個班級的學(xué)生義務(wù)為校植樹.一班植樹x棵,二班植樹的棵樹比一班的2倍少40棵,三班植樹的棵數(shù)比二班的一半多30棵,四班植樹的棵數(shù)比三班的一半多20棵.
(1)求四個班共植樹多少棵?(用含x的式子表示)
(2)若三班和四班植樹一樣多,那么植樹最多的班級比植樹最少的班級多植樹多少棵?
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