Question

【題目】如圖，一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），它的頂點(diǎn)為B（1，3）．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△APC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的面積最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+1；（2）S△APC最大值為，此時(shí)P(,)

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x﹣1)2+3，將A(0,1)代入解方程即可求解；

（2）直線AB與x軸交于點(diǎn)D，直線AC與x軸交于點(diǎn)E,先求得直線AC的解析式，即可求得拋物線和直線AC的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，過(guò)P作PQ∥y軸交AC于Q，根據(jù)拋物線解析式和直線AC的解析式設(shè)出P，Q點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)用t表示，即可表示出PQ，根據(jù)S△APC＝PQ|xC﹣xA|，得出關(guān)于t的二次函數(shù)，化為頂點(diǎn)式，即可得到當(dāng)t為何值時(shí)，S△APC有最大值．

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為B(1,3)

∴設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x﹣1)2+3

∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1)

∴a(0﹣1)2+3=1

解得：a＝﹣2

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝-2(x﹣1)2+3，即y＝﹣2x2+4x+1

故答案為：y＝﹣2x2+4x+1

（2）直線AB與x軸交于點(diǎn)D，直線AC與x軸交于點(diǎn)E，如圖所示

∵A(0,1)，B(1,3)

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

∴

∴y=2x+1

令2x+1=0

解得x=

∴OD=

，

∵AC⊥AB

∴∠DAE=90°

∴

∴

解得OE=2

∴E(2,0)

設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n

∵直線AC經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，E點(diǎn)

∴

∴

∴直線AC的解析式為y＝x+1

令x+1=﹣2x2+4x+1

解得：或

∴C(,)

過(guò)P作PQ∥y軸交AC于Q

設(shè)P(t,﹣2t2+4t+1)，則Q(t,t+1)

∴PQ＝(﹣2t2+4t+1)﹣(t+1)＝﹣2t2+t

∴S△APC＝PQ|xC﹣xA|＝(﹣2t2+t)(﹣0)＝﹣(t﹣)2+

∴當(dāng)t＝時(shí)，S△APC有最大值，此時(shí)，P(,)

故答案為：S△APC最大值為，此時(shí)P(,)