【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn),點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式.
(2)求△ABE面積的最大值.
(3)連接BE,是否存在點(diǎn)D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求出點(diǎn)D坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4.(2)△ABE面積的最大值為8.(3)存在點(diǎn)D,使得△DBE和△DAC相似,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣3,1)或(﹣2,2).
【解析】試題分析:(1)首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,0)(m<0),則點(diǎn)E坐標(biāo)為(m,-m2-3m+4),從而得出OC=-m、OF=-m2-3m+4、BF=-m2-3m,根據(jù)S△ABE=S梯形AOFE-S△AOB-S△BEF得出S=-2(m+2)2+8,據(jù)此可得答案;
(3)由于△ACD為等腰直角三角形,而△DBE和△DAC相似,則△DBE必為等腰直角三角形.分兩種情況討論,要點(diǎn)是求出點(diǎn)E的坐標(biāo),由于點(diǎn)E在拋物線上,則可以由此列出方程求出未知數(shù).
試題解析:(1)在直線解析式y=x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(0,4).
∵點(diǎn)A(﹣4,0),B(0,4)在拋物線y=﹣x2+bx+c上,
∴,
解得:b=﹣3,c=4,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣3x+4.
(2)如圖,連接AE、過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F,
設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,0)(m<0),則點(diǎn)E坐標(biāo)為(m,﹣m2﹣3m+4),
則OC=﹣m,OF=﹣m2﹣3m+4,
∵OA=OB=4,
∴BF=﹣m2﹣3m,
則S△ABE=S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF
=×(﹣m+4)(﹣m2﹣3m+4)﹣×4×4﹣×(﹣m)×(﹣m2﹣3m).
=﹣2m2﹣8m
=﹣2(m+2)2+8,
∵﹣4<m<0,
∴當(dāng)m=﹣2時(shí),S取得最大值,最大值為8.
即△ABE面積的最大值為8.
(3)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,0)(m<0),則OC=﹣m,CD=AC=4+m,BD=OC=﹣m,
則D(m,4+m).
∵△ACD為等腰直角三角形,△DBE和△DAC相似
∴△DBE必為等腰直角三角形.
i)若∠BED=90°,則BE=DE,
∵BE=OC=﹣m,
∴DE=BE=﹣m,
∴CE=4+m﹣m=4,
∴E(m,4).
∵點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上,
∴4=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合題意,舍去)或m=﹣3,
∴D(﹣3,1);
ii)若∠EBD=90°,則BE=BD=﹣m,
在等腰直角三角形EBD中,DE=BD=﹣2m,
∴CE=4+m﹣2m=4﹣m,
∴E(m,4﹣m).
∵點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上,
∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合題意,舍去)或m=﹣2,
∴D(﹣2,2).
綜上所述,存在點(diǎn)D,使得△DBE和△DAC相似,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣3,1)或(﹣2,2).
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