Question

【題目】問題提出

（1）如圖1．已知∠ACB＝∠ADB＝90°，請用尺規(guī)作圖作出△ABD的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；點C是否在△ABD的外接圓上　 （填“是”或“否”）．

問題探究

（2）如圖2．四邊形ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD．求證：CA+CB＝CD；

（3）如圖3．點P是正方形ABCD對角線AC的中點，點E是平面上一點，EB＝AB且EA＝BA．點Q是線段AE的中點，請在圖中畫出點E，并求線段PQ與AB之間的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】問題提出（1）作△ABD的外接圓，見解析；是；問題探究（2）見解析；（3）畫出點E，見解析； PQ＝AB，PQ＝AB．

【解析】

（1）作AB的垂直平分線交AB于點O，以O為圓心，AO長為半徑作圓，即為△ABD的外接圓，利用四點共圓的性質(zhì)可說明C在圓上；

（2）如圖2，作輔助線，把AC+BC轉(zhuǎn)化為CE，可證得△CDE是等腰直角三角形，從而右證明結(jié)論成立；

（3）以點B為圓心，AB長為半徑作圓，以點A為圓心，AB長為半徑作圓，兩圓的交點為E，注意有兩個交點都符合題意；連接BQ，BP，設AB＝3x，在Rt中求得，易證得AQBP四點共圓且AP＝BP，AP⊥BP，運用（2）的結(jié)論可求得PQ的值，繼而求得線段PQ與AB之間的數(shù)量關系．

問題提出

（1）作AB的垂直平分線交AB于點O，以O為圓心，AO長為半徑作圓，即為△ABD的外接圓，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴點A，點B，點D，點C四點共圓，

∴點C在△ABD的外接圓上，

故答案為：是；

問題探究

（2）如圖2，將△BCD繞點D，逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，

∴∠EAD＝∠DBC，

∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠DBC+∠DAC＝180°，

∴∠EAD+∠DAC＝180°，

∴E、A、C三點共線，

∴∠CAE為平角，

由旋轉(zhuǎn)知，AE＝BC，DE＝CD，∠CDE＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE＝CD，

∵CE＝AE+AC＝BC+AC，

∴CA+CB＝CD；

（3）如圖3，連接BQ，BP，

∵以點B為圓心，AB長為半徑作圓，以點A為圓心，AB長為半徑作圓，兩圓的交點為E，

∴點A的左右各有個點E，

設AB＝3x，則AE＝x，

若點E在點A的左側(cè)，

∵BE＝AB，點Q是AE的中點，

∴BQ⊥AE，AQ＝EQ＝，

∴BQ＝，

∵四邊形ABCD是正方形，點P是對角線AC的中點，

∴AP＝BP，AP⊥BP，

由（2）的結(jié)論可得：AQ+BQ＝PQ，

∴PQ＝

∴PQ＝，

∴PQ＝，

若點E在點A的右側(cè)，

同理可求：PQ＝．