【題目】如圖1,在正方形ABCD中,EAB上一點(diǎn),FAD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DFBE.易證:CECF

1)在圖1中,若GAD上,且∠GCE45°.試猜想GEBE,GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

2)運(yùn)用(1)中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下面兩題:

①如圖2,在四邊形ABCD中∠B=∠D90°,BCCD,點(diǎn)E,點(diǎn)G分別是AB邊,AD邊上的動(dòng)點(diǎn).若∠BCDα,∠ECGβ,試探索當(dāng)αβ滿足什么關(guān)系時(shí),圖1GE,BEGD三線段之間的關(guān)系仍然成立,并說(shuō)明理由.

②在平面直角坐標(biāo)中,邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x軸的正半軸上,點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABCO點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線yx上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AB邊交直線yx于點(diǎn)MBC邊交x軸于點(diǎn)N(如圖3).設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中,p值是否有變化?若不變,請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

【答案】1GE=GD+DF,證明見(jiàn)解析;(2β=2α時(shí),GE=GD+DF仍然成立,理由見(jiàn)解析;(3)△BMN的周長(zhǎng)沒(méi)有變化,周長(zhǎng)為2

【解析】

1)由正方形的性質(zhì)可得∠BCD=B=ADC=90°,BC=CD,由∠CEG=45°可得∠BCE+DCG=45°,利用SAS可證明△BCE≌△DCF,可得∠BCE=DCF,CE=CF,即可得出∠FCG=45°,可得∠FCG=GCE,利用SAS可證明△CEG≌△CFG,可得EG=FG,根據(jù)BE=DF即可得出GE=GD+BE

2)①如圖,延長(zhǎng)ADF,使DF=BE,連接CF,利用SAS可證明△BCE≌△DCF,可得∠BCE=DCF,CE=CF,根據(jù)GE=GD+BE可得EG=GF,利用SSS可證明△CEG≌△CFG,可得∠GCF=GCE,由∠GCF=GCD+DCF可得∠GCE=GCD+BCE,即可得出∠BCD=2GCE,可得答案;

②如圖,延長(zhǎng)BA,交y軸于H,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠HOA=NOC,利用ASA可證明△HOA≌△NOC,可得AH=CN,OH=ON,由直線OM的解析式可得∠HAM=MON=45°,利用SAS可證明△HOM≌△NOM,可得HM=MN,可得MN=AM+CN,即可得出△MBN的周長(zhǎng)p=AB+BC=2,即可證明△MBN的周長(zhǎng)沒(méi)有變化.

1GE=GD+DF,理由如下:

ABCD是正方形,

∴∠BCD=B=ADC=90°BC=CD,

在△BCE和△DCF中,,

∴△BCE≌△DCF

CE=CF,∠BCE=DCF,

∵∠GCE=45°

∴∠BCE+DCG=45°,

∴∠DCF+DCG=45°,即∠GCF=45°

∴∠GCF=GCE,

在△CEG和△CFG中,

∴△CEG≌△CFG,

GE=GF=GD+DF

2)當(dāng)β=2α時(shí),GE=GD+DF仍然成立,理由如下:

如圖,延長(zhǎng)ADF,使DF=BE,連接CF

在△BCE和△DCF中,,

∴△BCE≌△DCF

CE=CF,∠BCE=DCF,

EG=GD+BE

EG=GD+DF=GF

在△CEG和△CFG中,

∴△CEG≌△CFG,

∴∠ECG=FCG,

∴∠ECG=DCF+DCG=BCE+DCG

∴∠BCD=2ECG,即β=2α,

∴當(dāng)β=2α時(shí),圖1GE,BE,GD三線段之間的關(guān)系仍然成立.

3)如圖,延長(zhǎng)BA,交y軸于H,

∵將正方形OABCO點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

∴∠HOA=NOC

在△HOA和△NOC中,,

∴△HOA≌△NOC

AH=CN,OH=ON,

∵直線OM的解析式為y=x

∴∠HOM=MON=45°,

在△HOM和△NOM中,

HM=MN,

MN=AM+AH=AM+CN,

∴△BMN的周長(zhǎng)p=BM+MN+BN=BM+AM+CN+BN=AB+BC=2,

∴△BMN的周長(zhǎng)沒(méi)有變化,周長(zhǎng)為2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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體育成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

體育成績(jī)(分)

人數(shù)(人)

百分比(%)

26

8

16

27

12

24

28

15

29

n

30

(1)求樣本容量及n的值;

(2)已知該校七年級(jí)共有500名學(xué)生,如果體育成績(jī)達(dá)28分以上為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生體育成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的總?cè)藬?shù).

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1當(dāng)時(shí),求PC的長(zhǎng);

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(1)求證:∠ABD=∠C;

(2)如圖 2,在(1)問(wèn)的條件下,分別作∠ABD、∠DBC 的平分線交 DM 于 E、F,若∠BFC=1.5∠ABF,∠FCB=2.5∠BCN,

①求證:∠ABF=∠AFB;

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1)△ABC的形狀是_________(直接寫答案);

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2)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研,該商場(chǎng)決定在(1)中所購(gòu)總數(shù)量不變的基礎(chǔ)上,減少A種設(shè)備的購(gòu)進(jìn)數(shù)量,增加B種設(shè)備的購(gòu)進(jìn)數(shù)量.若用于購(gòu)進(jìn)這兩種多媒體教學(xué)設(shè)備的總資金不超過(guò)120萬(wàn)元,且全部銷售后可獲毛利潤(rùn)不少于33.6萬(wàn)元.問(wèn)有幾種購(gòu)買方案?并寫出購(gòu)買方案.

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組別

成績(jī)x

頻數(shù)人數(shù)

1

6

2

8

3

14

4

a

5

10

請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列各題:

求表中a的值; 頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

若測(cè)試成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀,則本次測(cè)試的優(yōu)秀率是多少?

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