【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點P、Q分別從A、B兩點出發(fā),按逆時針方向沿矩形的邊運動,點P的速度是每秒2個單位長度,點Q的速度是每秒1個單位長度,運動的時間為t秒,當(dāng)其中某一點到達(dá)點A時,運動停止,運動過程中,點P關(guān)于直線AQ的對稱點記為點M.
(1)點P點在線段AB上運動,點Q在線段BC上運動時,請用含t的式子表示出△APQ的面積S;
(2)當(dāng)點P在線段BC上運動,且△ABP∽△PCQ時,求t的值;
(3)若點Q在線段CD上,且以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形,求t的值.
【答案】(1)S=t2 (2) (3)當(dāng)t=1+時,以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形
【解析】試題分析:(1)底AP=2t,高BQ=t,根據(jù)三角形性的的面積公式求解即可;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求解;
(3)分四種情況,①點P在BC上,點Q在CD上,此時不合題意;②點P和點Q都在CD上,P在Q的左邊,此時不合題意;③點P和點Q都在CD上,P在Q的又邊,根據(jù)勾股定理列方程求解;④點P在AD上,點Q在CD上,根據(jù)勾股定理列方程求解.
解:(1)AP=2t,BQ=t,∴S=t2.
(2)如圖1,由△ABP∽△PCQ可知,此時點Q在線段CD上,∴,
即,
∴,解得,
∵,∴.
(3)①當(dāng)3<t≤時,如圖2,以A、P、Q、M為頂點的四邊形不可能是菱形;
②當(dāng)<t≤4時,如圖3,以A、P、Q、M為頂點的四邊形不可能是菱形;
③當(dāng)4<t≤時,如圖4,若PA=PQ,則以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形,即32+(11-2t)2=(2t-t-4)2,整理得t2-12t+38=0,方程無解;
④當(dāng)<t≤7時,如圖5,若PA=PQ,則以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形,即(2t-11)2+(7-t)2=(14-2t)2,解得t=1±,
∵<t≤7,∴t=1+.
∴當(dāng)t=1+時,以A、P、Q、M為頂點的四邊形是菱形.
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【題目】(4分)如圖,直線l外不重合的兩點A、B,在直線l上求作一點C,使得AC+BC的長度最短,作法為:①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′;②連接AB′與直線l相交于點C,則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有運用到的知識或方法是( )
A.轉(zhuǎn)化思想
B.三角形的兩邊之和大于第三邊
C.兩點之間,線段最短
D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點,長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上,已知OA=6,OB=10.點D為y軸上一點,其坐標(biāo)為(0,2),點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動,當(dāng)點P與點B重合時停止運動,運動時間為t秒.
(1)當(dāng)點P經(jīng)過點C時,求直線DP的函數(shù)解析式;
(2)①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式;
②如圖②,把長方形沿著OP折疊,點B的對應(yīng)點B′恰好落在AC邊上,求點P的坐標(biāo).
(3)點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分線分別交AB和AC于點D,E.
(1)求證:AE=2CE;
(2)連接CD,請判斷△BCD的形狀,并說明理由.
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【題目】隨著科技的進(jìn)步和網(wǎng)絡(luò)資源的豐富,在線學(xué)習(xí)已成為更多人的自主學(xué)習(xí)選擇,某校計劃為學(xué)生提供以下四類在線學(xué)習(xí)方式:在線閱讀、在線聽課、在線答題和在線討論,為了解學(xué)生需求,該校隨機(jī)對本校部分學(xué)生進(jìn)行了“你對哪類在線學(xué)習(xí)方式最感興趣”的調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)求本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù),并通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中“在線討論”對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(3)該校共有學(xué)生1800人,請你估計該校對在線閱讀最感興趣的學(xué)生人數(shù).
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)(k>0)的圖像交于點A與點B(a,-4).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點P(m,6)是雙曲線上的一點,連接OP,過點P作y軸的平行線交直線AB于點C,連接OC,求△POC的面積.
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【題目】前年,某大型工業(yè)企業(yè)落戶萬州,相關(guān)建設(shè)隨即展開.到去年年底,工程進(jìn)入到設(shè)備安裝階段.在該企業(yè)的采購計劃中,有A、B、C三種生產(chǎn)設(shè)備.若購進(jìn)3套A,7套B,1套丙,需資金63萬元;若購進(jìn)4套A,10套B,1套丙,需資金84萬元.現(xiàn)在打算同時購進(jìn)A、B、C各10套,共需資金___________________萬元.
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【題目】圣母大學(xué)計算機(jī)系的史戈宇教授帶一家人去旅行,途中汽車被劫走報警911,警察無作為,汽車上安裝的MS系統(tǒng),可以提示汽車與手機(jī)APP間的直線距離。史教授用“貪心算法”把被盜車輛位置確定在了圖中灰色的區(qū)域里,這是一個以暴亂和槍擊聞名的地區(qū)。當(dāng)史教授開車從E向A的方向行駛時,汽車與手機(jī)APP間的直線距離逐漸變小,從A向F的方向行駛時,汽車與手機(jī)APP問的直線距離逐漸變大.當(dāng)史教授開車從F向B的方向行駛時,汽車與手機(jī)APP間的直線距離逐漸變小,從B向G的方向行駛時,汽車與手機(jī)APP間的直線距離逐漸變大. 史教授再次報警后,警察根據(jù)史教授確定的被盜汽車的位置,很快找到了被盜汽車根據(jù)你學(xué)的數(shù)學(xué)知識,在圖中,畫出被盜汽車的位置.
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【題目】根據(jù)《廣州市初中學(xué)業(yè)水平考試體育與健康考試實施意見(征求意見稿)》,年的廣州市體育中考將要求考生在足球、排球、籃球三個項目中任選一項參加考試.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)為了解本校初一學(xué)生對足球、排球、籃球這三大球類運動項目的選考情況,抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求此次抽樣調(diào)查的樣本容量;
(2)補全條形統(tǒng)計圖,并求扇形統(tǒng)計圖中“足球”部分的圓心角度數(shù);
(3)如果這所學(xué)校初一學(xué)生共人,請你估計該校初一有多少名學(xué)生選擇排球項目參加體育中考?
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