【題目】如圖1,△ABC與△CDE都是等腰直角三角形,直角邊AC,CD在同一條直線上,點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),連接AE,BD,PM,PN,MN.
(1)觀察猜想:
圖1中,PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
(2)探究證明:
將圖1中的△CDE繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),得到圖2,AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸:
把△CDE繞點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn),若AC=4,CD=2,請直接寫出△PMN面積的最大值.
【答案】(1)PM=PN,PM⊥PN(2)見解析(3)
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACE≌△BCD,由此可得AE=BD,再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN,由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN;
(2)(1)中的結(jié)論仍舊成立,由(1)中的證明思路即可證明;
(3)由(2)可知△PMN是等腰直角三角形,PM=BD,推出當(dāng)BD的值最大時,PM的值最大,△PMN的面積最大,推出當(dāng)B、C、D共線時,BD的最大值=BC+CD=6,由此即可解決問題;
(1)PM=PN,PM⊥PN,理由如下:
延長AE交BD于O,
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,
∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.
在△ACE和△BCD中
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,
∵∠EAC+∠AEC=90°,∠AEC=∠BEO,
∴∠CBD+∠BEO=90°,
∴∠BOE=90°,即AE⊥BD,
∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),
∴PM=BD,PN=AE,
∴PM=PM,
∵PM∥BD,PN∥AE,AE⊥BD,
∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°,
∴∠MPA+∠NPC=90°,
∴∠MPN=90°,
即PM⊥PN,
故答案是:PM=PN,PM⊥PN;
(2)如圖②中,設(shè)AE交BC于O,
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,
∴AC=BC,EC=CD,
∠ACB=∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE≌△BCD,
∴AE=BD,∠CAE=∠CBD,
又∵∠AOC=∠BOE,
∠CAE=∠CBD,
∴∠BHO=∠ACO=90°,
∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn),
∴PM=BD,PM∥BD,
PN=AE,PN∥AE,
∴PM=PN,
∴∠MGE+∠BHA=180°,
∴∠MGE=90°,
∴∠MPN=90°,
∴PM⊥PN;
(3)由(2)可知△PMN是等腰直角三角形,PM=BD,
∴當(dāng)BD的值最大時,PM的值最大,△PMN的面積最大,
∴當(dāng)B、C、D共線時,BD的最大值=BC+CD=6,
∴PM=PN=3,
∴△PMN的面積的最大值=×3×3=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,對稱軸為x=,且經(jīng)過點(diǎn)(2,0),有下列說法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是拋物線上的兩點(diǎn),則y1=y2.上述說法正確的是( )
A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①②
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣2,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D是x軸上一動點(diǎn),連接CD,將線段CD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到DE,過點(diǎn)E作直線l⊥x軸,垂足為H,過點(diǎn)C作CF⊥l于F,連接DF.
(1)求拋物線解析式;
(2)若線段DE是CD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到,求線段DF的長;
(3)若線段DE是CD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到,且點(diǎn)E恰好在拋物線上,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,是的中點(diǎn),是延長線上的一點(diǎn),.
求證;
閱讀下列材料:
如圖,把沿直線平行移動線段的長度,可以變到的位置;
如圖,以為軸把翻折,可以變到的位置;
如圖,以點(diǎn)為中心把旋轉(zhuǎn),可以變到的位置.
像這樣,其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的,這種只改變位置,不改變形狀大小的圖形變換,叫做三角形的全等變換.
回答下列問題:
①在圖中,可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法使變到的位置,
答:________.
②指出圖中,線段與之間的關(guān)系.
答:________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,∠D=∠B=90°,AE平分∠DAB,CF平分∠DCB.試判斷∠AEF與∠CFE是否相等?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E,連接DB.
(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M是拋物線上的動點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.
①當(dāng)∠MBA=∠BDE時,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
②過點(diǎn)M作MN∥x軸,與拋物線交于點(diǎn)N,P為x軸上一點(diǎn),連接PM,PN,將△PMN沿著MN翻折,得△QMN,若四邊形MPNQ恰好為正方形,直接寫出m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,并完成任務(wù). 三角形的外心定義:三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),這個點(diǎn)叫做三角形的外心,如圖1,直線分別是邊的垂直平分線.
求證:直線相交于一點(diǎn).
證明:如圖2,設(shè)相交于點(diǎn),分別連接
∵是的垂直平分線,
∴,(依據(jù)1)
∵是的垂直平分線,
∴,
∴,(依據(jù)2)
∵是的垂直平分線,
∴點(diǎn)在上,(依據(jù)3)
∴直線相交于一點(diǎn).
(1)上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”“依據(jù)3”分別指什么?
(2)如圖3,直線分別是的垂直平分線,直線相交于點(diǎn),點(diǎn) 是的外心,交于點(diǎn),交于點(diǎn),分別連接、、、、. 若,的周長為,求的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是自動噴灌設(shè)備的水管,點(diǎn)在地面,點(diǎn)高出地面米.在處有一自動旋轉(zhuǎn)的噴水頭,在每一瞬間,噴出的水流呈拋物線狀,噴頭與水流最高點(diǎn)的連線與水平線成角,水流的最高點(diǎn)與噴頭高出米,在如圖的坐標(biāo)系中,水流的落地點(diǎn)到點(diǎn)的距離是________米.
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