【題目】問題探究

1)請在圖①的的邊上求作一點,使最短;

2)如圖②,點內部一點,且滿足.求證:點到點、、的距離之和最短,即最短;

問題解決

3)如圖③,某高校有一塊邊長為400米的正方形草坪,現(xiàn)準備在草坪內放置一對石凳及垃圾箱在點處,使點、三點的距離之和最小,那么是否存在符合條件的點?若存在,請作出點的位置,并求出這個最短距離;若不存在,請說明理由.

【答案】1)見解析;(2)證明見解析;(3)存在,作圖見解析;點三點的距離之和最小值為米.

【解析】

1)根據垂線段最短、利用尺規(guī)作圖作出點P;

2)將繞點逆時針旋轉,得到,將繞點逆時針旋轉,得到,連接,,,根據作圖可知均為等邊三角形,連接,根據兩點之間線段最短可知,當時,短,

3)以BC為邊作正△BCD,使點D與點ABC兩側,作△BCD的外接圓,連接AD交圓于P,連接PB,作DEACAC的延長線于E,根據勾股定理、直角三角形的性質計算,得到答案.

解:(1)如圖①,過點的垂線,

垂足為,點記為所求;

2)如圖②,將繞點逆時針旋轉,得到,

繞點逆時針旋轉,得到,

連接,

根據作圖可知均為等邊三角形,

,,

,

,

,

,

,

連接,根據兩點之間線段最短可知,

時,

最短,

,

,

又∵為等邊三角形,

四點共線,

∴當時,最短;

3)存在符合條件的點

如解圖③,以為作等邊,在作的外接圓,

連接,交于點,

此時最小,

上截取

∵在等邊中,

(同弧所對的圓周角相等)

為等邊三角形,

又∵,

,

,

最小.

理由如下:

設點為正方形內任意一點,

連接,、,

繞點順時針旋轉得到

,

的最短距離.

中,,米,

(米),

(米),

(米).

中,

∴點三點的距離之和最小值為米.

練習冊系列答案
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