【題目】如圖,在ABCD中,∠ACB=90°,過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E.
(1)求證:四邊形ACED是矩形;
(2)連接AE交CD于點F,連接BF.若∠ABC=60°,CE=2,求BF的長.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形,可得AD∥BC.所以∠CAD=∠ACB=90°.又∠ACE=90°,即可證明四邊形ACED是矩形;
(2)根據(jù)四邊形ACED是矩形,和四邊形ABCD是平行四邊形,可以證明△ABE是等邊三角形.再根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可求出BF的長.
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC.
∴∠CAD=∠ACB=90°.
又∵∠ACE=90°,DE⊥BC,
∴四邊形ACED是矩形.
(2)解:∵四邊形ACED是矩形,
∴AD=CE=2,AF=EF,AE=CD.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BC=AD=2,AB=CD.
∴AB=AE.
又∵∠ABC=60°,
∴△ABE是等邊三角形.
∴∠BFE=90°, ,
在Rt△BFE中,.
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【題目】問題探究
(1)請在圖①的的邊上求作一點,使最短;
(2)如圖②,點為內(nèi)部一點,且滿足.求證:點到點、、的距離之和最短,即最短;
問題解決
(3)如圖③,某高校有一塊邊長為400米的正方形草坪,現(xiàn)準備在草坪內(nèi)放置一對石凳及垃圾箱在點處,使點到、、三點的距離之和最小,那么是否存在符合條件的點?若存在,請作出點的位置,并求出這個最短距離;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:關(guān)于的方程有實數(shù)根.
(1)求的取值范圍;
(2)若該方程有兩個實數(shù)根,取一個的值,求此時該方程的根.
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【題目】已知:△ABC為等邊三角形.
(1)求作:△ABC的外接圓⊙O.(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)射線AO交BC于點D,交⊙O于點E,過E作⊙O的切線EF,與AB的延長線交于點F.
①根據(jù)題意,將(1)中圖形補全;
②求證:EF∥BC;
③若DE=2,求EF的長.
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【題目】某地區(qū)經(jīng)過三年的新農(nóng)村建設(shè),年經(jīng)濟收入實現(xiàn)了翻兩番(即是原來的22倍).為了更好地了解該地區(qū)的經(jīng)濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成結(jié)構(gòu)如圖,則下列結(jié)論中不正確的是( 。
A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少了
B.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入實現(xiàn)了翻兩番
C.新農(nóng)村建設(shè)后,第三產(chǎn)業(yè)收入比新農(nóng)村建設(shè)前的年經(jīng)濟收入還多
D.新農(nóng)村建設(shè)后,第三產(chǎn)業(yè)收入與養(yǎng)殖收入之和超過了年經(jīng)濟收入的一半
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+4ax+b(a>0)的頂點A在x軸上,與y軸交于點B.
(1)用含a的代數(shù)式表示b;
(2)若∠BAO=45°,求a的值;
(3)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.若拋物線在點A,B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域(不含邊界)內(nèi)恰好沒有整點,結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.以AB為直徑的⊙O交BC于點D,過點D作DE⊥AC于點E.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)延長DE交BA的延長線于點F,若AB=8,sinB=,求線段FA的長.
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【題目】已知,如圖,△ABC是等邊三角形.
(1)如圖1,將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AD,連接BD,∠BAC的平分線交BD于點E,連接CE.
①求∠AED的度數(shù);
②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果).
(2)如圖2,將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AD,連接BD,∠BAC的平分線交DB的延長線于點E,連接CE.
①依題意補全圖2;
②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是邊AD上的一個動點(與點A,D不重合),連接EO并延長,交BC于點F,連接BE,DF.下列說法:
① 對于任意的點E,四邊形BEDF都是平行四邊形;
② 當(dāng)∠ABC>90°時,至少存在一個點E,使得四邊形BEDF是矩形;
③ 當(dāng)AB<AD時,至少存在一個點E,使得是四邊形BEDF是菱形;
④ 當(dāng)∠ADB=45°時,至少存在一個點E,使得是四邊形BEDF是正方形.
所有正確說法的序號是:_________.
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