【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+4ax+b(a>0)的頂點(diǎn)A在x軸上,與y軸交于點(diǎn)B.
(1)用含a的代數(shù)式表示b;
(2)若∠BAO=45°,求a的值;
(3)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).若拋物線在點(diǎn)A,B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域(不含邊界)內(nèi)恰好沒有整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出a的取值范圍.
【答案】(1)b=4a;(2);(3)或a=1.
【解析】
(1)先將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式,然后根據(jù)拋物線y=ax2+4ax+b(a>0)的頂點(diǎn)A在x軸上,可以得到該拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,從而可以得到a和b的關(guān)系;
(2)根據(jù)拋物線解析式,可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4a),然后∠BAO=45°,可知4a=2,從而可以求得a的值;
(3)根據(jù)函數(shù)圖象,可以寫出a的取值范圍.
解:(1)∵y=ax2+4ax+b=a(x+2)2+(b﹣4a),
∴該拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,b﹣4a),
∵頂點(diǎn)A在x軸上,
∴b﹣4a=0,
即b=4a;
(2)∵b=4a,
∴拋物線為y=ax2+4ax+4a(a>0),
∵拋物線頂點(diǎn)為A(﹣2,0),與y軸的交點(diǎn)B(0,4a)在y軸的正半軸,∠BAO=45°,
∴OB=OA=2,
∴4a=2,
∴;
(3)或a=1.
理由:∵點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)B(0,4a),
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n,
,得,
即直線AB的解析式為y=2ax+4a,
∵拋物線解析式為y=ax2+4ax+4a(a>0),拋物線在點(diǎn)A,B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域(不含邊界)內(nèi)恰好沒有整點(diǎn),
∴或,
解得,a=1或0<a≤,
即a的取值范圍是0<a≤或a=1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程ax2+2x﹣3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求a的取值范圍;
(2)若此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為1,求a的值及方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形ABCD為矩形,曲線L經(jīng)過點(diǎn)D.點(diǎn)Q是四邊形ABCD內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),作PM⊥AB交曲線L于點(diǎn)M,連接QM.
小東同學(xué)發(fā)現(xiàn):在點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中,對(duì)于x1=AP的每一個(gè)確定的值,θ=∠QMP都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),x1與θ的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示:
x1=AP | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
θ=∠QMP | α | 85° | 130° | 180° | 145° | 130° |
小蕓同學(xué)在讀書時(shí),發(fā)現(xiàn)了另外一個(gè)函數(shù):對(duì)于自變量x2在﹣2≤x2≤2范圍內(nèi)的每一個(gè)值,都有唯一確定的角度θ與之對(duì)應(yīng),x2與θ的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示:
根據(jù)以上材料,回答問題:
(1)表格中α的值為 .
(2)如果令表格中x1所對(duì)應(yīng)的θ的值與圖2中x2所對(duì)應(yīng)的θ的值相等,可以在兩個(gè)變量x1與x2之間建立函數(shù)關(guān)系.
①在這個(gè)函數(shù)關(guān)系中,自變量是 ,因變量是 ;(分別填入x1和x2)
②請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,并畫出這個(gè)函數(shù)的圖象;
③根據(jù)畫出的函數(shù)圖象,當(dāng)AP=3.5時(shí),x2的值約為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果的兩個(gè)端點(diǎn)分別在的兩邊上(不與點(diǎn)重合),并且除端點(diǎn)外的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部,則稱是的“連角弧”.
(1)圖1中,是直角,是以為圓心,半徑為1的“連角弧”.
①圖中的長(zhǎng)是______,并在圖中再作一條以為端點(diǎn)、長(zhǎng)度相同的“連角弧”;
②以為端點(diǎn),弧長(zhǎng)最長(zhǎng)的“連角弧”的長(zhǎng)度是_______.
(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn)在軸正半軸上,若是半圓,也是的“連角弧”,求的取值范圍.
(3)如圖3,已知點(diǎn)分別在射線上,是的“連角弧”,且所在圓的半徑為,直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,在ABCD中,∠ACB=90°,過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形ACED是矩形;
(2)連接AE交CD于點(diǎn)F,連接BF.若∠ABC=60°,CE=2,求BF的長(zhǎng).
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【題目】新冠肺炎疫情暴發(fā)后,一場(chǎng)同時(shí)間賽跑、與病魔較量的戰(zhàn)役隨即打響.在疫情防控一線,除了廣大醫(yī)務(wù)工作者義無反顧、日夜奮戰(zhàn)之外,在另一條戰(zhàn)線上,科研人員也在加班加點(diǎn)、緊急攻關(guān).全國(guó)科技戰(zhàn)線積極響應(yīng)黨中央號(hào)召,科技、衛(wèi)健等12個(gè)部門組成科研攻關(guān)組,短短一個(gè)月的時(shí)間內(nèi)就取得了積極進(jìn)展.3月13日0﹣24時(shí),31個(gè)。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市)和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)新增確診病例11例(數(shù)據(jù)不含港澳臺(tái)),新增疑似病例17例(數(shù)據(jù)不含港澳臺(tái)).如圖是根據(jù)國(guó)家衛(wèi)健委關(guān)于新型冠狀病毒肺炎通報(bào)的數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)不含港澳臺(tái))繪制的統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)下列推斷合理的是_______.
①2月15日武漢新增確診病例約為1500例;
②從2月23日起到3月13日止,武漢每日新增確診病例都在500例以下;
③從2月23日起到3月13日止,全國(guó)每日新增疑似病例逐漸減少.
④3月13日湖北新增疑似病例不超過17例.
(2)結(jié)合本題的信息及當(dāng)前防疫形勢(shì),說說你的感受.
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【題目】已知線段AB,如果將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,則稱點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn).點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的示意圖如圖1:
(1)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)_____為線段BC關(guān)于點(diǎn)B的逆轉(zhuǎn)點(diǎn);
(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),且x>0,點(diǎn)E是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)F是線段EO關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),點(diǎn)G是線段EP關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),過逆轉(zhuǎn)點(diǎn)G,F的直線與x軸交于點(diǎn)H.
①補(bǔ)全圖;
②判斷過逆轉(zhuǎn)點(diǎn)G,F的直線與x軸的位置關(guān)系并證明;
③若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5),連接PF、PG,設(shè)△PFG的面積為y,直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P是直徑AB上的一點(diǎn),AB=6,CP⊥AB交半圓于點(diǎn)C,以BC為直角邊構(gòu)造等腰Rt△BCD,∠BCD=90°,連接OD.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)線段AP,BC,OD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.
下面是小明的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)對(duì)于點(diǎn)P在AB上的不同位置,畫圖、測(cè)量,得到了線段AP,BC,OD的長(zhǎng)度的幾組值,如下表:
位置1 | 位置2 | 位置3 | 位置4 | 位置5 | 位置6 | 位置… | |
AP | 0.00 | 1.00 | 2.00 | 3.00 | 4.00 | 5.00 | … |
BC | 6.00 | 5.48 | 4.90 | 4.24 | 3.46 | 2.45 | … |
OD | 6.71 | 7.24 | 7.07 | 6.71 | 6.16 | 5.33 | … |
在AP,BC,OD的長(zhǎng)度這三個(gè)量中,確定________的長(zhǎng)度是自變量,________的長(zhǎng)度和________的長(zhǎng)度都是這個(gè)自變量的函數(shù);
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中,畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)OD=2BC時(shí),線段AP的長(zhǎng)度約為________.
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