【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在軸正半軸上,,點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)在射線上,把線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.請根據(jù)題意畫出圖形并完成下列問題:
(1)求的長;
(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求與的關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),連接,當(dāng)為等腰三角形時,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.
【答案】(1);(2);(3)﹣5或-1或3.
【解析】
(1)在Rt△ABO中,根據(jù)OA=4,∠BAO=60°解直角三角形即可得到AB的長.作圖分兩種情況:①點(diǎn)D在A的下方,②點(diǎn)D在線段AB上;
(2)分三種情況討論:①當(dāng)D在A的下方時,作CM⊥AB于M,EN⊥OA于N.
由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,A的橫坐標(biāo)為-4,得出t<-4.用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為yx+4.設(shè)D(t,t+4).通過證明△CDM≌△ECN,得到EN=CM,CN=DM.解直角三角形CAM得到AM,CM的長.利用兩點(diǎn)間距離公式得到AD.由t<-4,得到AD=﹣8﹣2t,DM=﹣7﹣2t,CN=DM=﹣7﹣2t,ON=﹣5﹣2t,即可得到結(jié)論;
②當(dāng)D在A的上方線段AB上,E在第二象限時,作CM⊥AB于M,EN⊥OA于N.由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,A的橫坐標(biāo)為-4,得到t>-4.同①可得:AM=1,CM=,AD==8+2t,DM=7+2t,CN=DM=7+2t,ON=﹣5﹣2t,即可得到結(jié)論;
③當(dāng)D在A的上方線段AB上,E在第一象限時,同②可得結(jié)論;
(3)連接EF、FC、DF.設(shè)EC和DF相交于點(diǎn)H.證明四邊形DCFE是菱形,得到H平分DF和EC.設(shè)F(x,y).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x,y的值,從而得到F的坐標(biāo),表示出,,,然后分三種情況討論,解方程即可.
(1)∵C(﹣2,0),
∴OC=2.
∵C為OA的中點(diǎn),
∴OA=2OC=4.
∵∠BAO=60°,
∴∠ABO=30°,
∴OB=AC=,AB=2AO=8;
作圖分兩種情況:①點(diǎn)D在A的下方,如圖1;②點(diǎn)D在線段AB上,如圖2.
(2)分三種情況討論:①當(dāng)D在A的下方時,如圖3.
作CM⊥AB于M,EN⊥OA于N.
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,A的橫坐標(biāo)為-4,
∴t<-4.
∵B(0,4),A(﹣4,0),
∴設(shè)直線AB的解析式為,把A(﹣4,0)代入得:,解得:,
∴直線AB的解析式為yx+4.
設(shè)D(t,t+4).
∵∠DCE=∠BAC=60°,
∴∠ECN+∠ACD=∠ACD+∠CDM,
∴∠CDM=∠ECN,
在△CDM和△ECN中,
,
∴△CDM≌△ECN,
∴EN=CM,CN=DM.
∵AC=2,∠CAM=60°,
∴AM=1,CM=.
∵D(t,t+4),A(-4,0),
∴AD=.
∵t<-4,
∴AD=﹣8﹣2t,
∴DM=﹣7﹣2t,
∴CN=DM=﹣7﹣2t,
∴ON=﹣5﹣2t,
∴點(diǎn)E坐標(biāo)(2t+5,),
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)d=2t+5,
②當(dāng)D在A的上方線段AB上,E在第二象限時,如圖4,作CM⊥AB于M,EN⊥OA于N.
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,A的橫坐標(biāo)為-4,
∴t>-4.
同①可得:直線AB的解析式為yx+4,AM=1,CM=,AD=.
∵t>-4
∴AD=8+2t,DM=7+2t,
∴CN=DM=7+2t,
∴ON=OC-CN=2-(7+2t)=﹣5﹣2t,
∴點(diǎn)E坐標(biāo)(2t+5,),
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)d=2t+5.
③當(dāng)D在A的上方線段AB上,E在第一象限時,如圖5,作CM⊥AB于M,EN⊥OA于N.
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,A的橫坐標(biāo)為-4,
∴t>-4.
同②可得:直線AB的解析式為yx+4,AM=1,CM=,AD=.
∵t>-4,
∴AD=8+2t,DM=7+2t,
∴CN=DM=7+2t,
∴ON=CN-OC=(7+2t)-2=2t+5,
∴點(diǎn)E坐標(biāo)(2t+5,),
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)d=2t+5.
綜上所述:E點(diǎn)橫坐標(biāo)d=2t+5.
(3)如圖6,連接EF、FC、DF.設(shè)EC和DF相交于點(diǎn)H.
∵D、F關(guān)于直線EC對稱,
∴DE=EF,DC=CF.
∵△DCE是等邊三角形,
∴DE=DC,
∴DE=DC=FC=EF=EC,
∴四邊形DCFE是菱形,
∴H平分DF和EC.
設(shè)F(x,y).
∵C(﹣2,0),E(2t+5,),D(t,t+4),
∴,
解得:,
∴D關(guān)于CE的對稱點(diǎn)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(t+3,).
∵A(-4,0),F(t+3,)
∴=16,=,
==.
∵△OAF是等腰三角形,
∴分三種情況討論:
①當(dāng)OA=OF時,=,
∴,
解得:t=-5或t=-1,
∴d=2t+5=-5或3;
②當(dāng)OF=AF時,=,
∴,
∴,
解得:t=-5,
∴d=2t+5=-5;
③當(dāng)AF=OA時,=,
∴,
∴,
解得:t=-3或t=-5,
∴d=2t+5=-1或-5.
綜上所述:d的值為-5或-1或3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的圖像與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),且.
(1)點(diǎn)為直線上方拋物線上一點(diǎn),求四邊形的面積的最大值;點(diǎn)、分別為射線、上的動點(diǎn),當(dāng)四邊形面積取得最大值時,求當(dāng)線段的值為最小值時點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后得到,且點(diǎn)恰好在線段上,拋物線上的點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱,作,把沿直線平移后得到,在變換過程中是否存在為等腰三角形,若存在,直接寫出此時的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小東設(shè)計的“過圓外一點(diǎn)作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:⊙O及⊙O外一點(diǎn)P.
求作:直線PA和直線PB,使PA切⊙O于點(diǎn)A,PB切⊙O于點(diǎn)B.
作法:如圖,
①連接OP,分別以點(diǎn)O和點(diǎn)P為圓心,大于OP的同樣長為半徑作弧,兩弧分別交于點(diǎn)M,N;
②連接MN,交OP于點(diǎn)Q,再以點(diǎn)Q為圓心,OQ的長為半徑作弧,交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B;
③作直線PA和直線PB.
所以直線PA和PB就是所求作的直線.
根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵OP是⊙Q的直徑,
∴ ∠OAP=∠OBP=________°( )(填推理的依據(jù)).
∴PA⊥OA,PB⊥OB.
∵OA,OB為⊙O的半徑,
∴PA,PB是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】溫州茶山楊梅名揚(yáng)中國,某公司經(jīng)營茶山楊梅業(yè)務(wù),以3萬元/噸的價格買入楊梅(購買的數(shù)量不超過8噸),包裝后直接銷售,包裝成本為1萬元/噸,它的平均銷售價格y(單位:萬元/噸)與銷售數(shù)量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式?
(2)當(dāng)銷售數(shù)量為多少時,該公司經(jīng)營這批楊梅所獲得的毛利潤(w)最大?最大毛利潤為多少萬元?(毛利潤=銷售總收入﹣進(jìn)價總成本﹣包裝總費(fèi)用)
(3)經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),楊梅深加工后不包裝直接銷售,平均銷售價格為12萬元/噸.深加工費(fèi)用y(單位:萬元)與加工數(shù)量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系是
①當(dāng)該公司銷售楊梅多少噸時,采用深加工方式與直接包裝銷售獲得毛利潤一樣?
②該公司銷售楊梅噸數(shù)在 范圍時,采用深加工方式比直接包裝銷售獲得毛利潤大些?(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,∠A=100°,∠B=30°,D為邊上一點(diǎn),點(diǎn)是射線上一點(diǎn),與射線相交于點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),若,則_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】西安市某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在開展“保護(hù)環(huán)境,愛護(hù)樹木”的活動中,利用課外時間測量一棵古樹的高,由于樹的周圍有水池,同學(xué)們在低于樹基3.3米的一平壩內(nèi)(如圖).測得樹頂A的仰角∠ACB=60°,沿直線BC后退6米到點(diǎn)D,又測得樹頂A的仰角∠ADB=45°.若測角儀DE高1.3米,求這棵樹的高AM.(結(jié)果保留兩位小數(shù),≈1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,EF垂直平分矩形ABCD的對角線AC,與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F,連接AF.已知AC=4,設(shè)AB=x,AF=y,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x經(jīng)過點(diǎn)A,作AB⊥x軸于點(diǎn)B,將△ABO繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△CBD,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( 。
A.(﹣2,2)B.(﹣4,2)C.(﹣2,2)D.(﹣2,4)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年中國北京世界園藝博覽會(以下簡稱“世園會”)于4月29日至10月7日在北京延慶區(qū)舉行.世園會為滿足大家的游覽需求,傾情打造了4條各具特色的趣玩路線,分別是:.“解密世園會”、.“愛我家,愛園藝”、.“園藝小清新之旅”和.“快速車覽之旅”.李欣和張帆都計劃暑假去世園會,他們各自在這4條線路中任意選擇一條線路游覽,每條線路被選擇的可能性相同.
(1)李欣選擇線路.“園藝小清新之旅”的概率是多少?
(2)用畫樹狀圖或列表的方法,求李欣和張帆恰好選擇同一線路游覽的概率.
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