【題目】如圖,已知△CAD與△CEB都是等邊三角形,BD、EA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ACE≌△DCB.
(2)求∠F的度數(shù).
(3)若AD⊥BD,請(qǐng)直接寫出線段EF與線段BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)見解析;(2)60°;(3)EF=BD+2DF.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CB=CE,CD=CA,∠BCE=∠DCA=60°,由全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)設(shè)BC與EF相交于G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)垂直的定義得到∠ADF=90°,求得∠DAF=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=2DF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD,于是得到結(jié)論.
(1)∵△CAD與△CEB都是等邊三角形,
∴CB=CE,CD=CA,∠BCE=∠DCA=60°,
∴∠BCD=∠ECA,
∴△ACE≌△DCB(SAS);
(2)設(shè)BC與EF相交于G,
由(1)可知△ACE≌△DCB,
∴∠1=∠2,
∵∠1+∠BGF+∠F=∠2+∠AGC+∠BCE=180°,
而∠BGF=∠AGC,
∴∠F=∠BCE=60°;
(3)EF=BD+2DF,理由如下:
∵AD⊥BD,
∴∠ADF=90°,
∵∠F=60°,
∴∠DAF=30°,
∴AF=2DF,
∵△ACE≌△DCB,
∴AE=BD,
∴EF=AE+AF=BD+2DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形AOBC中,OB=6,OA=4,分別以OB,OA所在直線為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,F是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),過F點(diǎn)的反比例函數(shù)(k>0)的圖象與AC邊交于點(diǎn)E,連接OE,OF,EF.
(1)若tan∠BOF=,求F點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)F在BC上移動(dòng)時(shí),△OEF與△ECF的面積差記為S,求當(dāng)k為何值時(shí),S有最大值,最大值是多少?
(3)是否存在這樣的點(diǎn)F,使得△OEF為直角三角形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】結(jié)果如此巧合!
下面是小穎對(duì)一道題目的解答.
題目:如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.
解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F,CE的長(zhǎng)為x.
根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.
整理,得x2+7x=12.
所以S△ABC=ACBC
=(x+3)(x+4)
=(x2+7x+12)
=×(12+12)
=12.
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?
請(qǐng)你幫她完成下面的探索.
已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D,AD=m,BD=n.
可以一般化嗎?
(1)若∠C=90°,求證:△ABC的面積等于mn.
倒過來思考呢?
(2)若ACBC=2mn,求證∠C=90°.
改變一下條件……
(3)若∠C=60°,用m、n表示△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】聯(lián)想我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過的三角形外心的概念,我們可引入準(zhǔn)外心的定義:到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn),叫做此三角形的準(zhǔn)外心.請(qǐng)回答下面的三個(gè)問題:
(1)如圖1,若PB=PC,則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心,而且我們知道滿足此條件的準(zhǔn)外心有無數(shù)多個(gè),你能否用尺規(guī)作出另外一個(gè)準(zhǔn)外心Q呢?請(qǐng)嘗試完成;
(2)如圖2,已知△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上,試探究PA的長(zhǎng);
(3)如圖3,點(diǎn)B既是△EDC又是△ADC的準(zhǔn)外心,BD=BA=BC=2AD,BD∥AC,CD=,求AD的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)為吸引顧客,設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,并規(guī)定每購買元商品可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì),如果轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),指針正好落在紅、綠、黃區(qū)域,那么顧客可以分別獲得元、元、元購物券,如果不愿轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,那么可以直接獲得元購物券,設(shè)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),指針正好落在紅、綠、黃區(qū)域的概率依次為,,.
(1)平均來說,每轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤次所獲得購物券的金額是多少?
(2)小明在家也做了一個(gè)同樣的試驗(yàn),轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤次后共得購物前元,據(jù)此,小明認(rèn)為,還是直接領(lǐng)取元購物券合算,你同意他的說法嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)O在△ABC內(nèi),且知OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,過O作直線EF分別交AB、AC于E、F.
(1)如圖1,已知EF∥BC.
①若∠A=76°,請(qǐng)直接寫出∠BOE+∠COF的度數(shù);
②猜想∠BOE、∠COF與∠A之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論,不用證明
(2)直線EF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)(EF與BC不平行),那么上面(1)②中猜想的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)當(dāng)直線EF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)(點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上),請(qǐng)直接寫出∠BOE、∠COF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn), A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)以及直線BC的解析式;
(2)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)當(dāng)x為何值時(shí),一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC⊥BC,AC=BC,點(diǎn)D是AB中點(diǎn),過C、D的⊙O交AC、BC分別于E、F.若⊙O的半徑為,AC=2+2 ,則△CEF的面積為( )
A. B. 2 C. 2+ D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】具備下列條件的兩個(gè)三角形,可以證明它們?nèi)鹊氖?/span>( ).
A.一邊和這一邊上的高對(duì)應(yīng)相等B.兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等
C.兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等D.直角三角形的斜邊對(duì)應(yīng)相等
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