Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，0）是拋物線y=ax2+2x-c上的一點(diǎn)，將此拋物線向下平移6個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)B（0，2），平移后所得的新拋物線的頂點(diǎn)記為C，新拋物線的對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)記為P．

（1）求平移后所得到的新拋物線的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求∠CAB的正切值；

（3）如果點(diǎn)Q是新拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且△BCQ與△ACP相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）；（2）tan∠CAB=；（3）Q（1，）．

【解析】

（1）先根據(jù)點(diǎn)B（0，2）向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)B'（0，8），將A（4，0），B'（0，8）分別代入y=ax2+2x-c，得原拋物線為y=-x2+2x+8，向下平移6個(gè)單位后所得的新拋物線為y=-x2+2x+2，據(jù)此求得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到AB2=20，AC2=18，BC2=2，進(jìn)而得出AB2=AC2+BC2，根據(jù)∠ACB=90°，求得tan∠CAB的值即可；

（3）先設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=1與x軸交于點(diǎn)H，根據(jù)=，求得PH=AH=，進(jìn)而得到P（1，），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ與△ACP相似分兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：（1）點(diǎn)B（0，2）向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)B'（0，8），

將A（4，0），B'（0，8）分別代入y=ax2+2x-c，得

，

解得，

∴原拋物線為y=-x2+2x+8，向下平移6個(gè)單位后所得的新拋物線為y=-x2+2x+2，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）；

（2）如圖2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得

AB2=20，AC2=18，BC2=2，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴tan∠CAB===；

（3）如圖3，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=1與x軸交于點(diǎn)H，

由==，得PH=AH=，

∴P（1，），

由HA=HC=3，得∠HCA=45°，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，∠BCQ=∠ACP，

因此△BCQ與△ACP相似分兩種情況：

①如圖3，當(dāng)=時(shí)，=，

解得CQ=4，

此時(shí)Q（1，-1）；

②如圖4，當(dāng)=時(shí)，=，

解得CQ=，

此時(shí)Q（1，）．